ストッパーのあるシリンダーを一定の割合で温める

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ピストンが下のストッパーに乗っている間は、体積が変化しない。気体の圧力が大気圧とピストンの重さによる圧力の和に達すると、ピストンが持ち上がり、そこからは圧力一定で膨張する。上のストッパーに達すると、再び体積が一定になる。

つまり変化は「定積→定圧→定積」の3段階に分割できる。各段階の熱を求めて毎秒 $10\mathrm{J}$ で割れば時間が求まり、温度のグラフの傾きの違いから、定積と定圧での温まりやすさの違いが判明する。

① 区切りの温度。 ピストンが持ち上がるのは、気体の圧力が次の値に達したときである。

$$P_0+\frac{Mg}{S}=1.0\times 10^5+0.50\times 10^5=1.5\times 10^5\mathrm{Pa}$$

それまでは体積が一定なので、温度は圧力に比例する。上昇し始めるときの温度は $300\times 1.5=450\mathrm{K}$ である。

ピストンが移動する間は圧力が一定なので、温度は体積に比例する。体積が $2$ 倍になったところで上のストッパーに達するので、そのときの温度は $450\times 2=900\mathrm{K}$ である。

② 区間ごとの熱と時間。 単原子分子では、定積の熱は $\frac{3}{2}V\Delta P$、定圧の熱は $\frac{5}{2}P\Delta V$ で表せる。

$$Q_1=\frac{3}{2}\times 2.0\times 10^{-3}\times 0.50\times 10^5=150\mathrm{J}$$

$$Q_2=\frac{5}{2}\times 1.5\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3}=750\mathrm{J}$$

最後の区間では体積 $4.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ のまま、温度が $900\mathrm{K}$ から $1200\mathrm{K}$ になるので、圧力は $1.5\times 10^5$ から $2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ になる。

$$Q_3=\frac{3}{2}\times 4.0\times 10^{-3}\times 0.50\times 10^5=300\mathrm{J}$$

毎秒 $10\mathrm{J}$ なので、各区間の時間は $15\mathrm{s}$、$75\mathrm{s}$、$30\mathrm{s}$ である。上昇し始めるのは $15\mathrm{s}$ 後、ストッパーに達するのは $90\mathrm{s}$ 後、ヒーターを停止するのは $120\mathrm{s}$ 後である。

③ 温度のグラフ。 各区間の温度の上昇と時間から、傾きは次のとおりである。

$$\frac{150}{15}=10K/s,\frac{450}{75}=6K/s,\frac{300}{30}=10K/s$$

傾きの比は $5:3:5$ で、ピストンが移動している区間だけ温度の上がり方が緩やかになる。

④ 仕事と内部エネルギー。 気体が仕事をするのは体積が変化する定圧の区間だけである。

$$W=1.5\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3}=300\mathrm{J}$$

内部エネルギーの増加は、はじめと最後の $PV$ から求められる。

$$\Delta U=\frac{3}{2}(2.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}-1.0\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3})=900\mathrm{J}$$

与えた熱の合計 $150+750+300=1200\mathrm{J}$ は $\Delta U+W$ と一致する。

⑤ 傾きの比の意味。 物質量を $n$ とすると、毎秒 $10\mathrm{J}$ の熱で温度は定積なら $\frac{10}{n{C}_V}$、定圧なら $\frac{10}{n{C}_P}$ ずつ上昇する。傾きの比は次のようになる。

$$\frac{10}{n{C}_V}:\frac{10}{n{C}_P}=C_P:C_V=\frac{5}{2}R:\frac{3}{2}R=5:3$$

定圧の区間では、与えた熱の一部がピストンを持ち上げる仕事に使用されるので、温度の上昇が小さくなる。

まとめ ピストンのつり合いで変化を3段階に分割すると、各段階の熱が求まる。一定の割合で熱を与えたときの温度のグラフの傾きは熱容量に反比例し、その比が $C_P:C_V$ になる。

発展。 2原子分子の気体なら $C_V=\frac{5}{2}R$、$C_P=\frac{7}{2}R$ なので、傾きの比は $7:5$ になる。一定の割合で熱を与えながら温度のグラフの傾きを測定すれば、比熱比 $\gamma$ を実験で求めることができる。

別解

別解:気体の熱容量を先に求める。 物質量は $n=\frac{P_1{V}_1}{R{T}_1}$ なので、定積のときの熱容量は次のようになる。

$$n{C}_V=\frac{P_1{V}_1}{R{T}_1}\times \frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\times \frac{1.0\times 10^5\times 2.0\times 10^{-3}}{300}=1.0J/K$$

定圧のときは $n{C}_P=\frac{5}{3}\times 1.0\fallingdotseq 1.67J/K$ である。毎秒 $10\mathrm{J}$ の熱なので、温度は定積の区間で毎秒 $10\mathrm{K}$、定圧の区間で毎秒 $6\mathrm{K}$ 上昇する。

あとは区切りの温度 $450\mathrm{K}$、$900\mathrm{K}$ と最後の $1200\mathrm{K}$ までの温度差を傾きで割れば、$15\mathrm{s}$、$75\mathrm{s}$、$30\mathrm{s}$ が得られる。熱量を区間ごとに計算しなくても、グラフの形が先に判明する。