物理 / 気体の熱力学

ピストンに衝突する分子はなぜ速くなるか

★★★★ 難関気体分子運動論断熱変化熱力学第1法則

問題

断面積 $A$ のシリンダーに、質量 $m$ の分子 $N$ 個からなる単原子分子理想気体を封入し、ピストンで閉じる。シリンダーの底からピストンまでの長さを $L$ とする。ピストンを一定の小さな速さ $u$ で押し込み、気体を圧縮する。シリンダーとピストンは熱を通さず、分子は壁やピストンと弾性衝突する。 $u$ は分子の速さより十分小さい。

ピストンに垂直な向きを $x$ 軸とし、ある分子の速度の $x$ 成分の大きさを $v_{x}$ とする。

速さ u で押し込まれるピストンと、x 方向の速さ vₓ でピストンに近づく分子

(1) ピストンとともに移動する人の立場では、分子はピストンに速さ $v_{x} + u$ で近づき、同じ速さで跳ね返る。床に静止した人の立場での、跳ね返ったあとの速さ( $x$ 成分の大きさ)を求めよ。

(2) 1 回の衝突で、この分子の運動エネルギーがほぼ $2 m u v_{x}$ だけ増加することを導け。ただし $u^{2}$ を含む項は無視する。

(3) この分子が単位時間にピストンと衝突する回数は $\frac{v _{x}}{2 L}$ である。気体のすべての分子について、運動エネルギーの単位時間あたりの増加量の合計が $P A u$ に等しいことを導け。ここで $P$ は気体の圧力で、気体分子運動論の結果 $P V = \frac{1}{3} N m \overline{v^{2}}$ 、 $\overline{v_{x}^{2}} = \frac{1}{3} \overline{v^{2}}$ を用いてよい。

(4) $P A u$ は何を表すか。(3)の結果と熱力学第1法則の関係を述べよ。

(5) (3)の結果と $U = \frac{3}{2} P V$ から、この圧縮では $P V^{\frac{5}{3}}$ が一定に保たれることが導ける。体積を $\frac{1}{8}$ にすると、 $300 K$ の気体の温度は何 K になるか。

ヒントを見る

ピストンとともに移動する人の立場での速さを、床に対する速さに換算するには、ピストンの速さをどう加算すればよいか。全分子での合計に現れる $\sum v_{x}^{2}$ は、圧力とどう関係するか。 $P$ に面積 $A$ と速さ $u$ をかけた量は、力学で何とよぶ量か。

解答・解説

方針

近づいてくる壁に衝突したボールが速く跳ね返るのと同じで、分子もピストンに衝突するたびに速くなる。ピストンとともに移動する立場で弾性衝突を考え、床に対する速さに換算する。1 個の分子の増加を衝突の回数でかけ、全分子で合計して、分子運動論の圧力の式と比較する。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 断熱圧縮で温度が上がることは、第1法則から $Δ U = W$ として説明される。この問題では、同じことを分子の衝突から確認する。

近づいてくるバットに衝突したボールは、来たときより速く跳ね返る。分子も、近づいてくるピストンに衝突するたびに少しずつ速くなる。その増加を全分子で合計し、ピストンがする仕事と比較する。

① 跳ね返りの速さ。 ピストンとともに移動する人の立場では、分子は速さ $v_{x} + u$ で近づき、同じ速さ $v_{x} + u$ で遠ざかる。この人自身は床に対してシリンダーの底の向きに $u$ で移動しているので、床に対する分子の速さは次のとおりである。

$(v_{x} + u) + u = v_{x} + 2 u$

② 1 回の衝突での増加。 ピストンはなめらかなので、速度の $y$ 、 $z$ 成分は変化しない。運動エネルギーの増加は次のようになる。

$\frac{1}{2} m (v_{x} + 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = 2 m u v_{x} + 2 m u^{2}$

$u$ は $v_{x}$ より十分小さいので、 $2 m u^{2}$ は無視でき、増加はほぼ $2 m u v_{x}$ である。

③ 全分子での合計。 1 個の分子は単位時間に $\frac{v _{x}}{2 L}$ 回衝突するので、単位時間あたりの増加は次のとおりである。

$2 m u v_{x} \times \frac{v _{x}}{2 L} = \frac{m u}{L} v_{x}^{2}$

$N$ 個の分子で合計すると、 $\sum v_{x}^{2} = N \overline{v_{x}^{2}} = \frac{1}{3} N \overline{v^{2}}$ なので、次のようになる。

$\frac{m u}{L} \sum v_{x}^{2} = \frac{u}{L} \cdot \frac{1}{3} N m \overline{v^{2}} = \frac{u}{L} P V = P A u$

最後に $V = A L$ を用いた。

弾性衝突は、ピストンとともに移動する立場では同じ速さで跳ね返る。床に対しては、跳ね返りの速さは 2u だけ大きい

④ 仕事との関係。 気体がピストンを押す力は $P A$ である。ピストンはその力に逆らって単位時間に $u$ だけ進むので、ピストンが気体にする仕事の仕事率は $P A \times u$ である。

つまり、分子の運動エネルギーの増加の合計は、ピストンがする仕事とちょうど等しい。理想気体の内部エネルギーは分子の運動エネルギーの和で、熱の出入りはないので、これは第1法則 $Δ U = Q + W_{された}$ で $Q = 0$ とした式そのものである。

重要断熱圧縮で温度が上がるのは、近づくピストンに衝突した分子が速くなるからである。その増加の合計はピストンがする仕事に等しい

⑤ 温度。 $P V^{\frac{5}{3}} =$ 一定と状態方程式 $P V = n R T$ から、 $T V^{\frac{2}{3}} =$ 一定が成り立つ。体積を $\frac{1}{8}$ にすると、温度は $8^{\frac{2}{3}} = 4$ 倍になる。

$T = 300 \times 4 = 1200 K$

まとめ 分子の立場では、断熱圧縮での温度上昇は「近づく壁に当たるたびに分子が速くなる」ことである。その合計がピストンのする仕事と一致することで、分子運動論と第1法則の対応が明らかになる。

発展。 ピストンが遠ざかるときは、分子は衝突するたびに遅くなるので、断熱膨張では温度が下がる。一方、仕切りを除去したときの真空への断熱自由膨張では、遠ざかる壁に衝突することがないので分子は遅くならず、理想気体の温度は変化しない。同じ「断熱膨張」でも、温度の変化はピストンの有無で決定する。

答

(1) $v_{x} + 2 u$ (2) $\frac{1}{2} m (v_{x} + 2 u)^{2} - \frac{1}{2} m v_{x}^{2} = 2 m u v_{x} + 2 m u^{2} ≒ 2 m u v_{x}$ (3) 合計は $\frac{m u}{L} \sum v_{x}^{2} = \frac{u}{L} \cdot \frac{1}{3} N m \overline{v^{2}} = \frac{u}{L} P V = P A u$ (4) ピストンが気体にする仕事の仕事率。熱の出入りがないので、仕事がそのまま分子の運動エネルギー(内部エネルギー)の増加になる。これは第1法則で $Q = 0$ とした式に一致する (5) $1200 K$

別解

別解:1 次元の箱で、速さと長さの積が一定になることを導く。 分子が $x$ 方向にだけ往復する場合を考える。短い時間 $Δ t$ の間に、分子は $\frac{v}{2 L} Δ t$ 回衝突し、1 回につき速さが $2 u$ 増加するので、速さの増加は $Δ v = \frac{uv}{L} Δ t$ である。同じ時間に長さは $Δ L = - u Δ t$ だけ減少する。

積 $v L$ の変化は次のとおりで、 $v L$ は一定に保たれる。

$Δ (v L) = L Δ v + v Δ L = uv Δ t - uv Δ t = 0$

したがって、 $x$ 方向の運動エネルギーは $L^{2}$ に反比例する。実際の気体では分子どうしの衝突で、得たエネルギーが $x$ 、 $y$ 、 $z$ の3方向に分配されるので、全体の運動エネルギー(温度)の変化の割合はその $\frac{1}{3}$ になる。

$\frac{Δ T}{T} = \frac{1}{3} \times (- 2 \frac{Δ L}{L}) = - \frac{2}{3} \frac{Δ V}{V}$

これは $T V^{\frac{2}{3}} =$ 一定と同じ内容で、⑤と一致する。

ポイント

近づくピストンに弾性衝突した分子は、速さが $2 u$ 増加する
運動エネルギーの増加の合計は、ピストンがする仕事 $P A u$ と一致する。これが断熱圧縮の第1法則
1 次元では $v L$ が一定。3 方向に分配されると $T V^{\frac{2}{3}}$ が一定になる

よくある間違い

床に対しても跳ね返りの速さは $v_{x} + u$ だとする。ピストンとともに移動する人の立場での速さに、ピストンの速さをもう一度加算する必要がある
衝突の回数を $\frac{v _{x}}{L}$ とする。ピストンに次に衝突するまでの往復の距離は $2 L$ なので $\frac{v _{x}}{2 L}$ である
断熱圧縮で温度が上がるのは、分子どうしが近づいてこすれ合うからだと考える。理想気体では分子間の力はなく、ピストンとの衝突で速くなる