物理 / 気体の熱力学

湖の底から浮かぶ泡がする仕事

★★★★ 難関等温変化熱力学第1法則ボイル・シャルルの法則

問題

水温がどこでも一定の湖で、深さ $20 m$ の湖底から体積 $1.0 c m^{3}$ の空気の泡が発生し、ゆっくり水面まで浮かび上がる。泡の中の空気の温度は常に水温と等しく、泡の圧力はその深さの水圧に等しいとする。大気圧 $P_{0}$ は、水深 $10 m$ の水圧と等しい $9.8 \times 1 0^{4} Pa$ とする。

等温変化で気体がする仕事は、物質量 $n$ 、温度 $T$ のとき $W = n R T lo g_{e} \frac{V _{後}}{V _{前}}$ で表される。 $lo g_{e} 3 = 1.10$ 、 $lo g_{e} 1.5 = 0.405$ とする。

深さ 20 m の湖底で発生した泡が、ゆっくり水面まで浮かび上がる。水温は一定

(1) 水面での泡の体積を求めよ。

(2) 湖底から水面までに、泡の空気がまわりの水にする仕事を求めよ。

(3) この間に泡の空気が吸収する熱を求めよ。また、その熱は何から供給されるか。

(4) 湖底から深さ $10 m$ までに泡がする仕事は、(2)の何 % か。この結果から、泡が主にどの深さで膨張するかを述べよ。

(5) 実際には湖底の水温が $280 K$ 、水面近くが $300 K$ だったとする。湖底で体積 $1.4 c m^{3}$ の泡は、水面で何 $c m^{3}$ になるか。

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深さ $20 m$ の水圧は、大気圧の何倍か。温度が一定なら内部エネルギーは変化しないので、した仕事の分の熱はどうなるか。深さ $20 m$ から $10 m$ までと、 $10 m$ から水面までで、体積の比はそれぞれいくらか。

解答・解説

方針

深さ $20 m$ の水圧は大気圧の $3$ 倍なので、温度一定なら体積は $3$ 倍になる。仕事は等温変化の式で求め、 $Δ U = 0$ から吸収した熱は仕事と等しい。途中の深さまでの仕事は体積の比の対数で定まるので、深い側と浅い側の割合を比較する。最後の設問は、圧力と温度の両方が変化するのでボイル・シャルルの法則を用いる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 泡は浮かぶにつれて水圧が下がり、膨張する。温度は水温と同じで一定なので、等温変化である。体積はボイルの法則で、仕事は等温変化の式で求められる。

等温変化では内部エネルギーが変化しないので、泡がまわりの水を押しのける仕事の分だけ、熱を吸収する必要がある。また、仕事の式は体積の「比」の対数なので、深い側と浅い側で体積の比を比較すれば、どこで多く仕事をするかが判明する。

① 水面での体積。 深さ $20 m$ の水圧は $P_{0} + 2 P_{0} = 3 P_{0}$ である。温度一定なので、ボイルの法則より次のとおりになる。

$3 P_{0} \times 1.0 = P_{0} \times V ⟹ V = 3.0 c m^{3}$

② 泡がする仕事。 等温変化では $n R T = P V$ で、水面の値を用いると次のようになる。

$n R T = P_{0} \times 3.0 \times 1 0^{- 6} = 9.8 \times 1 0^{4} \times 3.0 \times 1 0^{- 6} = 0.294 J$

体積は $3$ 倍になるので、仕事は次のとおりである。

$W = n R T lo g_{e} 3 = 0.294 \times 1.10 ≒ 0.32 J$

③ 吸収する熱。 温度が一定なので、理想気体の内部エネルギーは変化しない( $Δ U = 0$ )。熱力学第1法則 $Q = Δ U + W$ より、 $Q = W ≒ 0.32 J$ である。

この熱は、泡のまわりの水から流れこむ。泡が膨張すると温度が下がろうとするが、まわりの水から熱が流れこむので、温度は水温に保たれる。

重要等温変化では

Δ U = 0

。気体がした仕事と同じ量の熱を吸収する

④ 深い側の仕事の割合。 深さ $10 m$ での水圧は $2 P_{0}$ なので、体積は $1.5 c m^{3}$ である。湖底から深さ $10 m$ までは体積が $1.5$ 倍、そこから水面までは $2$ 倍になる。仕事は体積の比の対数に比例するので、割合は次のようになる。

$\frac{lo g _{e} 1.5}{lo g _{e} 3} = \frac{0.405}{1.10} ≒ 0.37$

約 $37 %$ である。深さは半分ずつでも、体積の増加は深い側で $0.5 c m^{3}$ 、浅い側で $1.5 c m^{3}$ で、泡は主に浅いところで膨張する。

泡の圧力(P₀ を 1)と体積(cm³)。曲線の下の面積が仕事で、深さ 10 m から水面まで(右側)が全体の約 63 % をしめる

⑤ 温度が異なる場合。 圧力と温度の両方が変化するので、ボイル・シャルルの法則 $\frac{P V}{T} =$ 一定を用いる。

$\frac{3 P _{0} \times 1.4}{280} = \frac{P _{0} \times V}{300} ⟹ V = 1.4 \times 3 \times \frac{300}{280} = 4.5 c m^{3}$

まとめ 浮かぶ泡は等温膨張をし、まわりの水から得た熱をそのまま仕事に変換している。水圧は深さに比例して変化するが、体積は圧力に反比例するので、膨張と仕事の大部分は水面に近いところで発生する。

発展。 同じ理由で、水中から浮上するダイバーは、浅いところほど肺の中の空気の膨張が大きくなる。スキューバダイビングで「浮上中は息を止めない」とされるのは、浅い側での急な膨張から肺を保護するためである。

答

(1) $3.0 c m^{3}$ (2) $0.32 J$ (3) $0.32 J$ 。まわりの水から熱が流れこむ (4) 約 $37 %$ 。それ以外の約 $63 %$ は深さ $10 m$ から水面までの間にするので、泡は主に浅いところで膨張する (5) $4.5 c m^{3}$

別解

別解:P-V グラフの面積を台形で概算する。 圧力を $P_{0}$ 、体積を $c m^{3}$ を単位にすると、泡の状態は $(V, P) = (1.0, 3)$ 、 $(1.5, 2)$ 、 $(3.0, 1)$ を通る反比例の曲線上を移動する。仕事はこの曲線の下の面積である。

曲線を2本の線分で近似すると、深い側の台形の面積は $\frac{3 + 2}{2} \times 0.5 = 1.25$ 、浅い側は $\frac{2 + 1}{2} \times 1.5 = 2.25$ である。深い側の割合は $\frac{1.25}{3.5} ≒ 0.36$ で、対数で求めた約 $37 %$ に近い値になる。

浅い側の台形は、高さ(圧力)は低いが横幅(体積の増加)がはるかに大きい。この横幅の差が、浅い側で多く仕事をする理由である。

ポイント

深さ $10 m$ ごとに水圧は大気圧の分だけ増加する。深さ $20 m$ は $3 P_{0}$
等温膨張では $Δ U = 0$ なので、した仕事と同じ量の熱を吸収する
同じ深さの差でも、浅いところほど体積の増加が大きく、仕事も大きい

よくある間違い

深さ $20 m$ の水圧を $ρ g h = 2 P_{0}$ だけとして、体積が $2$ 倍になるとする。大気圧を加算すると $3 P_{0}$ で、 $3$ 倍になる
仕事を $P Δ V$ とし、圧力を一定として計算する。圧力は浮かぶにつれて減少するので、等温変化の式を用いる
深さが半分ずつなので、仕事も半分ずつになると考える。体積の比は深い側が $1.5$ 倍、浅い側が $2$ 倍で、深い側の仕事は約 $37 %$ である