物理 / 気体の熱力学

ポンプで空気を抜くときと押し込むとき

★★★★ 難関ボイルの法則物質量等比数列

問題

容積 $9.0 L$ の容器に、容積 $1.0 L$ のピストンつきポンプが接続されている。温度は常に一定とし、弁や接続部の体積は無視する。

容器とピストンつきのポンプ。弁で容器とポンプの間を開け閉めする

【排気】はじめ容器の中の空気の圧力は $P_{0}$ である。ポンプのピストンを引いて容器とポンプを接続し、空気を全体の $10 L$ に膨張させたあと、容器側の弁を閉じ、ポンプの空気をすべて外に排出する。これを 1 回の操作とする。

(1) 1 回の操作のあとの容器の圧力は、 $P_{0}$ の何倍か。

(2) $n$ 回の操作のあとの圧力を求めよ。また、圧力を $P_{0}$ の $1 %$ 以下にするには、操作を最低何回行う必要があるか。 $lo g_{10} 0.9 = - 0.0458$ とする。

【加圧】次に、圧力 $P_{0}$ の空気を封入した同じ容器に、外の空気(圧力 $P_{0}$ )を $1.0 L$ ずつポンプで押し込む。押し込んだ空気は、すべて容器に流入するものとする。

(3) $n$ 回押し込んだあとの容器の圧力を求めよ。また、圧力を $2 P_{0}$ にするには何回押し込めばよいか。

(4) 排気では1回ごとの圧力の減少が少しずつ小さくなるのに、加圧では毎回同じだけ圧力が増加する。その理由を、物質量に着目して説明せよ。

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1 回の排気で、容器に残存する空気は膨張させた空気全体の何分の何か。それを n 回くり返すと何倍になるか。押し込む空気は、毎回どれだけの物質量か。

解答・解説

方針

温度一定なので、圧力と体積の積は物質量に比例する。排気では「容器とポンプに膨張させた空気のうち、容器に残る割合」を毎回考えると、圧力は等比数列になる。加圧では毎回同じ物質量が加わるので、圧力は等差数列になる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 温度が一定なので、気体の圧力と体積の積 $P V$ は物質量に比例する( $P V = n R T$ )。そこで、各操作で容器の中の物質量がどう変化するかを追えばよい。

排気では、容器の空気を容器とポンプの全体に膨張させてから、ポンプの分だけを排出する。毎回「容器の中にある空気の一定の割合」を排出するので、容器の中の量は等比数列になる。加圧では、毎回「一定の量」の空気を追加するので等差数列になる。この違いが(4)の内容である。

① 1 回の排気。 容器の空気 $9.0 L$ を $10 L$ に膨張させる。ボイルの法則より、膨張させたあとの圧力は次のとおりである。

$P_{0} \times 9.0 = P_{1} \times 10 ⟹ P_{1} = 0.90 P_{0}$

弁を閉じてポンプの空気を排出しても、容器の中の圧力は $0.90 P_{0}$ のままである。

② $n$ 回の排気。 毎回、その時点の圧力が $0.90$ 倍になるので、 $P_{n} = P_{0} \times 0. 9^{n}$ である。 $0. 9^{n} \leq 0.01$ の両辺の常用対数をとると、次の式になる。

$n lo g_{10} 0.9 \leq - 2 ⟹ n \geq \frac{2}{0.0458} ≒ 43.7$

$lo g_{10} 0.9$ は負なので、両辺を割ると不等号の向きが反対になる。最低 $44$ 回である。

重要排気は毎回

\frac{V}{V + v}

倍の等比数列、加圧は毎回

\frac{v}{V} P_{0}

ずつ増加する等差数列(

V

は容器、

v

はポンプの容積)

③ $n$ 回の加圧。 1 回に押し込む空気は、圧力 $P_{0}$ ・体積 $1.0 L$ 分である。これを容器の $9.0 L$ に押し込むと、温度一定なので圧力は $\frac{1.0}{9.0} P_{0}$ だけ増加する。 $n$ 回では次のようになる。

$P = P_{0} + n \times \frac{P _{0}}{9} = P_{0} (1 + \frac{n}{9})$

$2 P_{0}$ になるのは $n = 9$ 回である。押し込んだ空気の合計( $P_{0}$ のもとでの体積で $9.0 L$ )は、はじめに容器にあった空気と同じ量である。

操作の回数 n と容器の圧力(P₀ を 1 とする)。加圧では毎回同じだけ増加し、排気では毎回 0.90 倍になる

④ 違いの理由。 1 回の排気で排出する空気は、容器とポンプに膨張させた空気の $\frac{1}{10}$ で、その量は容器の中の空気の量に比例する。空気が少なくなるほど排出する量も少なくなるので、圧力の減少は少しずつ小さくなり、いつまでも $0$ にはならない。

加圧では、毎回押し込む空気は外の空気(圧力 $P_{0}$ )の $1.0 L$ 分で、容器の中の量に関係なく一定である。そのため圧力は毎回同じだけ増加する。

まとめ 温度一定の気体では、 $P V$ が物質量を表す。排気は「容器の中にある量の一定の割合」を排出する操作なので等比数列、加圧は「一定の量」を追加する操作なので等差数列になる。

発展。 ポンプで抜く方法では、何回くり返しても容器の圧力は $0$ にならない。また加圧では、押し込むたびにポンプの中の空気を容器の圧力まで圧縮する必要があるので、回数が進むほど 1 回あたりに必要な仕事は大きくなる。

答

(1) $0.90$ 倍 (2) $P_{0} \times 0. 9^{n}$ 、 $44$ 回 (3) $P_{0} (1 + \frac{n}{9})$ 、 $9$ 回 (4) 排気では毎回、膨張させた空気の $\frac{1}{10}$ が排出されるので、減少する物質量は容器の中にある量に比例する。加圧では毎回、圧力 $P_{0}$ ・体積 $1.0 L$ の一定の物質量が加わる

別解

別解:容器に残存する物質量を、10 回ごとのまとまりで見積もる。 1 回の排気で、容器の物質量は $\frac{9}{10}$ 倍になる。 $10$ 回では $0. 9^{10} ≒ 0.349$ 倍で、約 $\frac{1}{3}$ である。

$40$ 回では $0.34 9^{4} ≒ 0.015$ 倍で、まだ $1 %$ に達しない。 $44$ 回では $0. 9^{44} ≒ 0.0097$ 倍で、ここで初めて $1 %$ を下回る。対数を用いない見積もりでも、②と同じ $44$ 回が得られる。

ポイント

温度一定では $P V$ が物質量に比例する。操作ごとに物質量を追う
排気は毎回 $\frac{V}{V + v}$ 倍の等比数列。何回くり返しても 0 にならない
加圧は毎回同じ量を追加するので等差数列

よくある間違い

1 回で $1.0 L$ 分の空気を抜くと考え、9 回で容器が空になるとする。毎回抜けるのは膨張させた空気の $\frac{1}{10}$ で、その量は減少していく
対数の不等式で、 $lo g_{10} 0.9$ が負であることを忘れて不等号の向きを誤る
加圧でも押し込むたびに圧力が $\frac{10}{9}$ 倍になると考えて、等比数列にする。加わる物質量は毎回一定である