物理 / 気体の熱力学

浮沈子はどの深さで沈み始めるか

★★★★ 難関ボイルの法則浮力安定性

問題

質量 $12 g$ のガラスの小さな試験管に空気を封入し、口を下にして水に浮かべる。ガラスそのものの体積は $2.0 c m^{3}$ で、水面に浮いているとき、中の空気の体積は $15 c m^{3}$ である。

この試験管を水中に押し込み、深さ $h$ で静かに放す。水の密度を $1.0 g/c m^{3}$ 、大気圧 $P_{0}$ を水深 $10 m$ の水圧と等しい $9.8 \times 1 0^{4} Pa$ とし、水温は一定とする。試験管の大きさは $h$ より十分小さく、中の空気の圧力は深さ $h$ の水圧に等しいとみなす。

口を下にした試験管を深さ h まで沈めて、静かに放す

(1) 水面に浮いているとき、水面より上にある部分の体積を求めよ。

(2) 深さ $h$ [m] での中の空気の体積を $h$ で表せ。

(3) 試験管が浮きも沈みもしない深さを求めよ。

(4) 深さ $4.0 m$ と $6.0 m$ で放すと、試験管はそれぞれどうなるか。理由とともに述べよ。

(5) 水面に浮いている試験管を、水を満たして密閉したペットボトルの中に浮かべ、ボトルを手で押して中の圧力を高める。試験管が沈み始めるのは、ボトル内の圧力を大気圧よりどれだけ高めたときか。

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浮力を決定するのは、水を押しのけている体積である。深く沈めると、どの部分の体積が変化するか。つり合いの深さより少しだけ深くすると、浮力は重さより大きくなるか、小さくなるか。

解答・解説

方針

浮力は水中にある部分の体積で定まる。ガラスの体積は一定で、空気の体積だけが深さとともに減少する。ボイルの法則で空気の体積を深さの式にし、浮力と重さが等しくなる深さを求める。つり合いの深さから少しずれたとき、浮力が元の深さへ押し返す向きにはたらくかどうかで、つり合いの安定・不安定を判断する。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 試験管にはたらく力は、重さと浮力の2つである。重さは $12 g$ 分で一定だが、浮力は押しのけている水の体積で定まる。ガラスの体積は変化しないので、変化するのは中の空気の体積だけである。

空気は深いところほど大きな水圧で圧縮される。そこで、ボイルの法則で空気の体積を深さの式にし、浮力が重さと等しくなる深さを求める。最後に、その深さからずれたときに浮力が「元に戻す向き」にはたらくかを考える。

① 水面に浮いているとき。 重さ $12 g$ と浮力がつり合うので、水中にある部分の体積は、水 $12 g$ 分の $12 c m^{3}$ である。全体の体積は $15 + 2.0 = 17 c m^{3}$ なので、水面より上にある部分は次のとおりである。

$17 - 12 = 5.0 c m^{3}$

② 深さ $h$ での空気の体積。 深さ $h$ [m] の水圧は $P_{0} + ρ g h$ で、 $P_{0}$ は水深 $10 m$ の水圧なので $P_{0} (1 + \frac{h}{10})$ と表せる。温度一定だから、ボイルの法則より次の式になる。

$P_{0} \times 15 = P_{0} (1 + \frac{h}{10}) V ⟹ V = \frac{150}{10 + h} c m^{3}$

$h = 10 m$ で、体積は半分の $7.5 c m^{3}$ になる。

公式ボイルの法則

P V =

一定(温度一定)。深さ

h

の水圧は

P_{0} + ρ g h

③ つり合いの深さ。 試験管全体が水中にあるとき、浮力は水 $(V + 2.0) c m^{3}$ 分の重さである。これが $12 g$ 分の重さと等しいので、条件は $V = 10 c m^{3}$ である。

$\frac{150}{10 + h} = 10 ⟹ h = 5.0 m$

空気が $15 c m^{3}$ から $10 c m^{3}$ に縮む、つまり圧力が $1.5$ 倍になる深さである。

水中にある部分の体積 V+2(単位 cm³)と深さ h [m]。重さに等しい浮力の線(水 12 g 分)と h=5.0 m で交わり、それより深いと浮力が重さを下回る

④ つり合いの安定性。 深さ $4.0 m$ では $V = \frac{150}{14} ≒ 10.7 c m^{3}$ で、浮力が重さより大きいので浮かび上がる。浮かぶと水圧が下がって空気がさらにふくらみ、浮力は増加する一方なので、そのまま水面まで上がる。

深さ $6.0 m$ では $V = \frac{150}{16} ≒ 9.4 c m^{3}$ で、浮力が重さより小さいので沈む。沈むと空気がさらに縮んで浮力が減少するので、そのまま底に達する。

つり合いの深さからずれると、ずれた向きにさらに移動させる力がはたらく。 $5.0 m$ のつり合いは不安定なつり合いである。

⑤ ペットボトルの浮沈子。 試験管のある位置は浅いので、空気の圧力はボトル内の圧力とみなせる。沈み始めるのは空気が $10 c m^{3}$ まで縮んだとき、すなわち圧力が $1.5 P_{0}$ になったときである。高める圧力は次のとおりである。

$1.5 P_{0} - P_{0} = 0.5 \times 9.8 \times 1 0^{4} = 4.9 \times 1 0^{4} Pa$

手をゆるめて圧力を元の値にすると、空気がふくらんで再び浮かび上がる。

まとめ 浮力は押しのけた体積で定まるので、気体を含む物体の浮力は深さとともに変化する。体積が深さとともに減少するので、つり合いの深さは不安定になる。

発展。 硬い物体なら体積は深さによらないので、浮力も深さによらない。気体を含む物体だけ、深さによって浮力が変化する。スキューバダイビングでは、浮力調整具の中の空気の量を深さに応じて調節し、この不安定さを補っている。

答

(1) $5.0 c m^{3}$ (2) $V = \frac{150}{10 + h} c m^{3}$ (3) $5.0 m$ (4) $4.0 m$ では水面まで浮かび上がり、 $6.0 m$ では底まで沈む。深いほど空気が縮んで浮力が減少するので、 $5.0 m$ のつり合いは不安定である (5) $4.9 \times 1 0^{4} Pa$

別解

別解:体積の式を立てずに、圧力の比で考える。 つり合いの条件は、空気の体積が $10 c m^{3}$ 、つまり水面での $15 c m^{3}$ の $\frac{2}{3}$ になることである。ボイルの法則では体積と圧力が反比例するので、圧力が $\frac{3}{2}$ 倍の $1.5 P_{0}$ になればよい。

水圧が $P_{0}$ だけ増加するのは深さ $10 m$ なので、 $0.5 P_{0}$ だけ増加するのは $5.0 m$ である。⑤のペットボトルでも必要な増加は同じ $0.5 P_{0}$ で、「深く沈める」ことと「ボトルを押す」ことは、どちらも空気の圧力を上げる方法である。

ポイント

浮力は押しのけた体積で定まる。気体の部分の体積だけが深さで変化する
ボイルの法則で体積を深さの式にする。深さ $10 m$ ごとに、水圧は大気圧の分だけ増加する
ずれた向きにさらに力がはたらくつり合いは不安定。深い側では底まで沈む

よくある間違い

ガラスの体積 $2.0 c m^{3}$ を浮力に含め忘れて、空気の体積が $12 c m^{3}$ になる深さを求めてしまう
水圧を $ρ g h$ だけとして、大気圧 $P_{0}$ を加算し忘れる。水面でも空気は $P_{0}$ で押されている
つり合いの深さで放すと静止するので、その前後で放しても元の深さに復帰すると考える。浮力の変化の向きを確認すると、不安定なつり合いである