物理 / 直流回路

コンデンサーを含むブリッジ回路の電荷と放電の熱

★★★★ 難関ブリッジ回路コンデンサージュール熱

問題

起電力 $12 V$ 、内部抵抗が無視できる電池に、図のようなブリッジ回路を接続する。左の枝は上から抵抗 $R_{1} = 2.0 Ω$ 、 $R_{2} = 4.0 Ω$ 、右の枝は上から $R_{3} = 4.0 Ω$ 、 $R_{4} = 2.0 Ω$ で、左の枝の中点 L と右の枝の中点 M の間に、電気容量 $C = 5.0 μ F$ のコンデンサーを接続する。電池の負極の電位を $0$ とする。

R₁=2.0 Ω、R₂=4.0 Ω、R₃=4.0 Ω、R₄=2.0 Ω のブリッジ回路の中央に、コンデンサー C=5.0 μF を接続する

(1) 十分に時間がたったあとの L と M の電位を求めよ。また、コンデンサーの電荷を求め、どちらの極板が正になるかを述べよ。

(2) (1)のとき、電池を流れる電流を求めよ。

(3) $R_{4}$ だけを別の抵抗に取りかえて、十分に時間がたったあとのコンデンサーの電荷を $0$ にしたい。 $R_{4}$ をいくらにすればよいか。

(4) (1)の状態から電池を回路から切りはなすと、コンデンサーは4つの抵抗を通して放電する。放電が終わるまでに、4つの抵抗で発生するジュール熱の合計と、 $R_{1}$ で発生するジュール熱を求めよ。

(5) (4)で、電池を切りはなした直後にコンデンサーから流出する電流を求めよ。

ヒントを見る

十分に時間がたったとき、コンデンサーを含む部分に電流は流れるか。電池を切りはなしたあと、L から M へ向かう経路はいくつあり、それぞれどの抵抗を通過するか。

解答・解説

方針

十分に時間がたつとコンデンサーには電流が流れないので、左右の枝はそれぞれ独立した直列回路になり、L と M の電位は分圧で求まる。コンデンサーの電圧は L と M の電位差である。電池を切りはなしたあとは、コンデンサーに対して2つの経路が並列になり、各経路の電流と各抵抗の熱の比は抵抗の比から定まる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 十分に時間がたつと、コンデンサーには電流が流れない。左の枝と右の枝は、それぞれ電池に接続された直列回路とみなせるので、L と M の電位は分圧で求まる。

電池を切りはなすと、コンデンサーが電源の役割をする。L から M へは「 $R_{1}$ と $R_{3}$ 」を通る経路と「 $R_{2}$ と $R_{4}$ 」を通る経路があり、この2つが並列になる。熱の配分は各抵抗に流れる電流と抵抗値から定まる。

① L と M の電位とコンデンサーの電荷。 左の枝は $R_{1} + R_{2} = 6.0 Ω$ で、L の電位は $R_{2}$ の電圧に等しい。

$V_{L} = 12 \times \frac{4.0}{6.0} = 8.0 V, V_{M} = 12 \times \frac{2.0}{6.0} = 4.0 V$

コンデンサーの電圧は $4.0 V$ で、電位の高い L 側の極板が正である。

$Q = C V = 5.0 \times 1 0^{- 6} \times 4.0 = 2.0 \times 1 0^{- 5} C$

十分に時間がたったあとの電位。L は 8.0 V、M は 4.0 V で、コンデンサーの L 側の極板が正になる

② 電池の電流。 左右の枝にそれぞれ $\frac{12}{6.0} = 2.0 A$ が流れるので、電池の電流は $4.0 A$ である。

③ 電荷を $0$ にする条件。 L と M の電位が等しければ、コンデンサーの電荷は $0$ になる。左の枝と右の枝の分圧の比が等しい条件は $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{4}}$ である。

$\frac{2.0}{4.0} = \frac{4.0}{R _{4}} ⟹ R_{4} = 8.0 Ω$

重要定常状態ではコンデンサーに電流が流れないので、ブリッジの中央のコンデンサーの電圧は、左右の枝の分圧の差に等しい

④ 放電のジュール熱。 放電が終わるまでに、コンデンサーの静電エネルギーはすべてジュール熱になる。

$\frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \times 5.0 \times 1 0^{- 6} \times 4. 0^{2} = 4.0 \times 1 0^{- 5} J$

L から M への2つの経路はどちらも $2.0 + 4.0 = 6.0 Ω$ なので、常に等しい電流が流れる。同じ電流が流れる抵抗の熱は抵抗値に比例するので、4つの抵抗の熱の比は $R_{1} : R_{3} : R_{2} : R_{4} = 2 : 4 : 4 : 2$ である。

$R_{1} の熱 = 4.0 \times 1 0^{- 5} \times \frac{2}{12} ≒ 6.7 \times 1 0^{- 6} J$

⑤ 切りはなした直後の電流。 コンデンサーに接続された抵抗は、 $6.0 Ω$ の経路2つの並列で $3.0 Ω$ である。

$I_{0} = \frac{4.0}{3.0} ≒ 1.3 A$

まとめ 定常状態ではコンデンサーの部分を切り離して分圧を求め、電位差から電荷を求める。放電では静電エネルギーがすべて熱になり、熱の配分は経路ごとの電流と抵抗値で定まる。

発展。 このブリッジ回路の $R_{4}$ を、温度や力で抵抗値が変化する素子に交換すると、コンデンサーの電荷(電圧)でその変化を検出できる。③の条件からのわずかなずれが電圧の変化として現れる。

答

(1) L は $8.0 V$ 、M は $4.0 V$ 。電荷は $2.0 \times 1 0^{- 5} C$ で、L 側の極板が正 (2) $4.0 A$ (3) $8.0 Ω$ (4) 合計 $4.0 \times 1 0^{- 5} J$ 、 $R_{1}$ は約 $6.7 \times 1 0^{- 6} J$ (5) 約 $1.3 A$

別解

別解:放電の熱を電流の2乗の比から求める。 放電中のある瞬間に、コンデンサーから流出する電流を $i$ とすると、2つの経路は抵抗が等しいので、それぞれ $\frac{i}{2}$ が流れる。 $R_{1}$ で発生する熱の割合は、4つの抵抗の熱の合計に対して次のようになる。

$\frac{R _{1} ( \frac{i}{2} ) ^{2}}{( R _{1} + R _{3} + R _{2} + R _{4} ) ( \frac{i}{2} ) ^{2}} = \frac{2.0}{12} = \frac{1}{6}$

この割合は $i$ によらないので、放電の全体でも $R_{1}$ の熱は合計の $\frac{1}{6}$ で、 $\frac{4.0 \times 1 0 ^{- 5}}{6} ≒ 6.7 \times 1 0^{- 6} J$ となり、④と一致する。

ポイント

定常状態ではコンデンサーに電流が流れず、左右の枝は独立した直列回路になる
コンデンサーの電圧は L と M の電位差。 $\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{4}}$ なら電荷は $0$
放電では静電エネルギーがすべて熱になり、配分は電流と抵抗値で定まる

よくある間違い

定常状態でもコンデンサーを含む部分に電流が流れるとして、ブリッジ全体をまとめて計算する。コンデンサーには電流が流れないので、左右の枝を別々に扱う
放電の熱がすべて小さい抵抗で発生すると考える。2つの経路の電流は等しく、熱は抵抗値に比例する
L と M の電位を、上の節点を基準とした電圧と混同する。電池の負極を電位 $0$ とすると、L の電位は $R_{2}$ の電圧に等しい