異なる材料の導線の境界に電荷が現れる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 抵抗率 $\rho$、断面積 $S$、長さ $L$ の導線に電流 $I$ が流れると、電圧は $\rho \frac{L}{S}I$ で、電場は $E=\frac{\rho I}{S}$ である。同じ電流でも、抵抗率の大きいニクロム線の中の電場は銅線より強い。

電場の強さは単位面積を貫く電気力線の本数に比例する。境界の面で電気力線の本数が増加しているなら、そこから電気力線が発していることになり、正の電荷がある。

① 単位面積あたりの電流。

$$\frac{I}{S}=\frac{1.0}{1.0\times 10^{-6}}=1.0\times 10^{6}A/{\mathrm{m}}^2$$

② 電場の強さ。

$$E_1=1.7\times 10^{-8}\times 1.0\times 10^6=1.7\times 10^{-2}V/m,E_2=1.1\times 10^{-6}\times 1.0\times 10^6=1.1V/m$$

③ 境界の電荷。 電場の強さ $E$ のところでは、面積 $S$ を ${\epsilon }_{0}ES$ に比例する本数の電気力線が貫く。電荷 $Q$ からは $\frac{Q}{{\epsilon }_0}$ 本の電気力線が発するので、境界の面から発する本数と到達する本数の差 $(E_2-E_1)S$ は $\frac{Q}{{\epsilon }_0}$ に等しい。

$$Q={\epsilon }_0(E_2-E_1)S=8.85\times 10^{-12}\times (1.1-0.017)\times 1.0\times 10^{-6}\fallingdotseq 9.6\times 10^{-18}\mathrm{C}$$

境界から発する本数のほうが多いので、電荷は正である。

④ 電気素量との比較。

$$\frac{9.6\times 10^{-18}}{1.6\times 10^{-19}}\fallingdotseq 60$$

電子約 $60$ 個分という、わずかな電荷である。このわずかな電荷が、境界の両側の電場の強さの差をつくっている。

⑤ 電流の向きを逆にしたとき。 電場の向きが逆になり、境界の面ではニクロム線の側から到達する電気力線のほうが多くなる。電荷の大きさは同じで、負の電荷になる。

まとめ 導線の中の電場は $\rho \frac{I}{S}$ で、抵抗率の異なる導線を接続すると電場の強さが境界で変化する。電気力線の本数の差から、境界にはわずかな電荷が現れる。

発展。 電流が流れている回路では、導線の表面や抵抗の端などに、このようなわずかな電荷が分布している。電池を接続するとすぐにこれらの電荷が分布し、回路の各部分に必要な電場ができて、直列の部分のどこでも電流が等しくなる。

別解

別解:境界の電荷を、電場をつくる平面の電荷とみなす。 境界の面の電荷 $Q$ を面積 $S$ に一様に分布した電荷とみなすと、その電荷は両側に強さ $\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}S}$ の電場をつくり、向きは面から離れる向きである。

これを、両側に共通の電場 $E_0$ に重ね合わせると、ニクロム線の側では $E_0+\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}S}$、銅線の側では $E_0-\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}S}$ になる。その差 $\frac{Q}{{\epsilon }_{0}S}$ が $E_2-E_1$ に等しいので、$Q={\epsilon }_0(E_2-E_1)S$ となり③と一致する。