物理 / 直流回路

並列の抵抗への電流の分流はジュール熱を最小にする

★★★★ 難関並列接続ジュール熱最小値

問題

抵抗値 $R_{1} = 2.0 Ω$ と $R_{2} = 4.0 Ω$ の抵抗を並列に接続し、全体に $I = 3.0 A$ の電流を流す。

並列に接続した2つの抵抗に、全体で 3.0 A の電流を流す

(1) それぞれの抵抗に流れる電流と、2つの抵抗で発生するジュール熱の合計(1秒あたり)を求めよ。

(2) 仮に、 $R_{1}$ に $x$ [A]、 $R_{2}$ に $3.0 - x$ [A] の電流が流れるとして、1秒あたりのジュール熱の合計 $P (x)$ を $x$ で表せ。

(3) $P (x)$ が最小になる $x$ と、その最小値を求めよ。

(4) (3)の $x$ で、2つの抵抗の両端の電圧が等しくなることを確認せよ。このことから、実際の電流の分流について何がいえるか。

(5) (1)のジュール熱の合計が並列の合成抵抗 $R$ を用いて $R I^{2}$ と表せることを確認せよ。

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並列の抵抗には何が共通にかかるか。仮の分流 $x$ についてジュール熱の合計を2次関数で表すと、最小になるのはどこか。そのとき2つの抵抗の電圧はどうなっているか。

解答・解説

方針

並列の抵抗には等しい電圧がかかるので、電流は抵抗に反比例して分流する。仮の分流 $x$ についてジュール熱の合計を2次関数で表すと、最小になる $x$ は実際の分流と一致する。最小の条件は2つの抵抗の電圧が等しいことで、これは並列接続の条件そのものである。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 並列の抵抗では電圧が共通なので、電流は抵抗に反比例して分流する。これとは別に、「全体の電流 $3.0 A$ を2つに配分するとき、どの配分でジュール熱が最小になるか」という問いを立てる。

2つの問いの結果を比較すると、実際の分流とジュール熱の最小が一致することが確認できる。

① 実際の分流。 電圧が共通なので $2.0 I_{1} = 4.0 I_{2}$ 、 $I_{1} + I_{2} = 3.0$ より $I_{1} = 2.0 A$ 、 $I_{2} = 1.0 A$ である。

$2.0 \times 2. 0^{2} + 4.0 \times 1. 0^{2} = 8.0 + 4.0 = 12 W$

② 仮の分流でのジュール熱。

$P (x) = 2.0 x^{2} + 4.0 (3.0 - x)^{2} = 6.0 x^{2} - 24 x + 36$

③ 最小値。 平方完成すると $P (x) = 6.0 (x - 2.0)^{2} + 12$ である。 $x = 2.0 A$ のとき最小値 $12 W$ になり、①の実際の分流と一致する。

R₁ に流れると仮定した電流 x [A] と、ジュール熱の合計 P [W]。実際の分流 x=2.0 A で最小になる

たとえば $x = 2.5 A$ と仮定すると $P = 13.5 W$ で、実際より大きい。

④ 最小の条件と電圧。 $x = 2.0 A$ のとき、 $R_{1}$ の電圧は $2.0 \times 2.0 = 4.0 V$ 、 $R_{2}$ の電圧は $4.0 \times 1.0 = 4.0 V$ で等しい。一般に、 $P (x) = R_{1} x^{2} + R_{2} (I - x)^{2}$ が最小になる条件は次のとおりである。

$R_{1} x = R_{2} (I - x)$

これは「2つの抵抗の電圧が等しい」という並列接続の条件そのものである。実際の電流は、ジュール熱の合計が最小になるように分流している。

重要並列の抵抗に分流する電流は、ジュール熱の合計が最小になる配分に一致する

⑤ 合成抵抗との関係。 並列の合成抵抗は $\frac{2.0 \times 4.0}{2.0 + 4.0} = \frac{4}{3} Ω$ で、 $R I^{2} = \frac{4}{3} \times 3. 0^{2} = 12 W$ である。合成抵抗は全体の電流を流したときの最小のジュール熱を表す量ともいえる。

まとめ 並列の抵抗では電圧が共通なので電流は抵抗に反比例して分流し、この分流はジュール熱の合計を最小にする。電圧が等しいという条件と、ジュール熱が最小という条件は同じ内容を表している。

発展。 定常的な電流は、与えられた条件のもとでジュール熱が最小になるように導体の中に分布することが知られている。3つ以上の抵抗の並列や、広い導体の中の電流の分布にも、同じ性質が成り立つ。

答

(1) $R_{1}$ に $2.0 A$ 、 $R_{2}$ に $1.0 A$ 、合計 $12 W$ (2) $P (x) = 2.0 x^{2} + 4.0 (3.0 - x)^{2} = 6.0 x^{2} - 24 x + 36$ (3) $x = 2.0 A$ で最小値 $12 W$ (4) どちらも $4.0 V$ で等しい。実際の電流の分流は、ジュール熱の合計が最小になる分流になっている (5) $R = \frac{4}{3} Ω$ で、 $R I^{2} = \frac{4}{3} \times 9.0 = 12 W$

別解

別解:3つの抵抗の場合でも確認する。 抵抗値 $1.0$ 、 $2.0$ 、 $3.0 Ω$ の並列に $11 A$ を流すと、電流は抵抗に反比例して $6.0$ 、 $3.0$ 、 $2.0 A$ に分流する。ジュール熱の合計は $36 + 18 + 12 = 66 W$ である。

合成抵抗は $\frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = \frac{6}{11} Ω$ で、 $\frac{6}{11} \times 1 1^{2} = 66 W$ と一致する。配分を少しずらして $6.5$ 、 $2.5$ 、 $2.0 A$ とすると、 $42.25 + 12.5 + 12 = 66.75 W$ で、実際の分流より大きくなる。

ポイント

並列の抵抗は電圧が共通で、電流は抵抗に反比例して分流する
仮の分流のジュール熱 $R_{1} x^{2} + R_{2} (I - x)^{2}$ は、実際の分流で最小になる
最小の条件 $R_{1} x = R_{2} (I - x)$ は、電圧が等しいという並列の条件と同じ

よくある間違い

電流が抵抗に比例して分流すると考える。電圧が共通なので、抵抗の小さいほうに多く流れる
ジュール熱が最小になるのは、すべての電流を小さい抵抗に流したときと考える。 $x = 3.0 A$ では $P = 18 W$ で、実際の分流の $12 W$ より大きい
合計のジュール熱を、それぞれの抵抗に全体の電流を流した値の和 $(2.0 + 4.0) \times 3. 0^{2}$ とする。並列の抵抗には分流した電流が流れる