物理 / 直流回路

はしご形の回路で電流が半分ずつに分流する

★★★★ 難関合成抵抗キルヒホッフの法則分流

問題

抵抗値 $R = 1.0 kΩ$ の抵抗と $2 R$ の抵抗を、図のようなはしご形に接続する。上の導線の点 $A_{0}$ 、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ の間には $R$ の抵抗があり、各点から下の導線へ $2 R$ の抵抗が接続されている。 $A_{2}$ の右側は、さらに $2 R$ の抵抗で下の導線に接続されている。 $A_{0}$ と下の導線の間に、起電力 $8.0 V$ 、内部抵抗が無視できる電池を接続する。下の導線の電位を $0$ とする。

R と 2R の抵抗によるはしご形の回路(R=1.0 kΩ)。下の導線の電位を 0 とする

(1) $A_{2}$ と下の導線の間の、 $A_{2}$ から右側の部分の合成抵抗を求めよ。

(2) 電池に接続された回路全体の合成抵抗と、電池を流れる電流を求めよ。

(3) $A_{1}$ 、 $A_{2}$ の電位と、 $A_{0}$ 、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ から下の導線へ接続した $2 R$ の抵抗に流れる電流を、それぞれ求めよ。

(4) 同じ形の区画をさらに右へ追加していくと、各点から下の導線へ流れる電流はどのように変化するか。

(5) $A_{0}$ と $A_{2}$ から下の導線へ流れる電流だけを合計すると、いくらになるか。

ヒントを見る

右端の2つの $2 R$ の並列はいくらか。それに $R$ を直列に接続し、さらに $2 R$ と並列にすると、合成抵抗はどうなるか。各点で電流はどんな比で分流するか。

解答・解説

方針

右端から合成抵抗を順に求めると、どの点についても右側の合成抵抗は $R$ になる。そのため、各点で電流は「下へ流れる $2 R$ 」と「右側の合成抵抗 $R$ と直列の $R$ 」に等しく分流し、右へ進むごとに電流が半分になる。電位も1区画ごとに半分になる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) はしご形の回路は、右端から合成抵抗を順に求めていくと扱いやすい。右端の2つの $2 R$ の並列は $R$ で、それに $R$ を直列に接続すると $2 R$ 、さらに $2 R$ と並列にすると再び $R$ になる。

どの点についても右側の合成抵抗が $R$ なので、各点での電流の分流の比はすべて同じになる。この規則性から、電流と電位が1区画ごとに一定の比で変化することが判明する。

① $A_{2}$ から右側の合成抵抗。 $A_{2}$ から下へ接続した $2 R$ と、右端の $2 R$ の並列である。

$\frac{2 R \times 2 R}{2 R + 2 R} = R = 1.0 kΩ$

② 全体の合成抵抗と電池の電流。 $A_{1}$ から右側は、 $R$ と①の $R$ の直列 $2 R$ と、 $A_{1}$ の下の $2 R$ の並列で $R$ になる。 $A_{0}$ でも同じ計算で、全体の合成抵抗は $R = 1.0 kΩ$ である。

$I = \frac{8.0}{1.0 \times 1 0 ^{3}} = 8.0 \times 1 0^{- 3} A = 8.0 mA$

③ 電位と電流。 $A_{0}$ では、下の $2 R$ と、右側の $2 R$ (直列の $R$ と合成抵抗 $R$ )に等しく分流する。下の $2 R$ に流れる電流は $\frac{8.0}{2.0} = 4.0 mA$ で、右へ $4.0 mA$ 流れる。

右へ流れる電流が $R$ を通過すると、電位は $4.0 mA \times 1.0 kΩ = 4.0 V$ 低下するので、 $A_{1}$ の電位は $4.0 V$ である。 $A_{1}$ でも等しく分流するので、下へ $2.0 mA$ 、右へ $2.0 mA$ 流れ、 $A_{2}$ の電位は $2.0 V$ である。 $A_{2}$ の下の $2 R$ と右端の $2 R$ には、それぞれ $1.0 mA$ が流れる。

各点の電位(青)と電流(赤)。各点で電流は等しく分流し、電流も電位も右へ進むごとに半分になる

重要どの点についても先の部分の合成抵抗が等しい回路では、各点での分流の比が同じになり、電流と電位は一定の比で変化する

④ 区画を追加したとき。 追加した区画の右端を $2 R$ で終えれば、どの点についても右側の合成抵抗は $R$ のままである。各点で電流は等しく分流するので、下の導線へ流れる電流は $4.0$ 、 $2.0$ 、 $1.0$ 、 $0.5 mA$ 、……と、1つ右の点へ進むごとに半分になる。

⑤ $A_{0}$ と $A_{2}$ の電流の和。

$4.0 + 1.0 = 5.0 mA$

まとめ はしご形の回路は右端から合成抵抗を求めると、どの点から先も $R$ になる。そのため電流と電位は1区画ごとに半分になり、各点の電流は $4 : 2 : 1$ の比になる。

発展。 ⑤のように、 $4$ 、 $2$ 、 $1 mA$ の電流から選択したものを合計すると、 $0$ から $7 mA$ までの電流を $1 mA$ ごとに得られる。選択の有無を $1$ と $0$ で表すと、 $A_{0}$ と $A_{2}$ を選択した $5.0 mA$ は2進数の $101$ にあたる。この回路は、デジタルの数値を電流や電圧に変換する回路(DA 変換器)に用いられている。

答

(1) $R = 1.0 kΩ$ (2) $1.0 kΩ$ 、 $8.0 mA$ (3) $A_{1}$ は $4.0 V$ 、 $A_{2}$ は $2.0 V$ 。電流は $A_{0}$ から $4.0 mA$ 、 $A_{1}$ から $2.0 mA$ 、 $A_{2}$ から $1.0 mA$ (4) 1つ右の点へ進むごとに半分になる (5) $5.0 mA$

別解

別解:キルヒホッフの法則で電位を直接求める。 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ の電位を $V_{1}$ 、 $V_{2}$ とし、各点に流入する電流と流出する電流が等しいという式を立てる(単位は $kΩ$ と $mA$ )。

$A_{1} : \frac{8.0 - V _{1}}{1} = \frac{V _{1}}{2} + \frac{V _{1} - V _{2}}{1}, A_{2} : \frac{V _{1} - V _{2}}{1} = \frac{V _{2}}{2} + \frac{V _{2}}{2}$

2番目の式から $V_{1} = 2 V_{2}$ で、1番目の式に代入すると $8.0 - 2 V_{2} = V_{2} + V_{2}$ より $V_{2} = 2.0 V$ 、 $V_{1} = 4.0 V$ となり、③と一致する。電位が1区画ごとに半分になることも、この2式から確認できる。

ポイント

はしご形の回路は右端から合成抵抗を求める。この回路ではどの点から先も $R$
各点で電流は等しく分流し、右へ進むごとに電流も電位も半分になる
$4 : 2 : 1$ の電流の組み合わせで、2進数の値に比例する電流が得られる

よくある間違い

$A_{2}$ から右側を、下の $2 R$ だけと考えて $2 R$ とする。右端の $2 R$ との並列で $R$ である
全体の合成抵抗を、すべての抵抗の直列や並列で一度に計算する。はしご形の回路は直列と並列が交互に重なっているので、右端から順に求める
$A_{0}$ で電流が $2 R$ と $R$ の比で分流すると考える。右へ向かう側は $R$ と右側の合成抵抗 $R$ の直列で $2 R$ なので、等しく分流する