電流の反発で浮かせた導線の振動

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 逆向きの電流が流れる平行な導線は反発し合い、その力は間隔に反比例する。上の導線は、反発の力と重力がつり合う高さで静止できる。

つり合いが安定かどうかは、ずれたときに元の位置へ向かう力がはたらくかで定まる。間隔に反比例する力では、下にずれると力が大きくなるので、元の位置へ向かう力がはたらく。

① 力の向きと大きさ。 逆向きの電流なので、導線 2 は導線 1 から反発の力、すなわち鉛直上向きの力を受ける。単位長さあたりの力の大きさは次のとおりである。

$$f=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi h}$$

② 静止する高さ。 単位長さあたりの重力 $\lambda g$ とつり合う。

$$\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi h_0}=\lambda g⟹h_0=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi \lambda g}=\frac{2\times 10^{-7}\times 49^2}{1.0\times 10^{-3}\times 9.8}=4.9\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

③ 鉛直方向の安定性。 導線 2 を下げると間隔が小さくなり、反発の力は重力より大きくなるので、合力は上向きになる。逆に上げると反発の力が重力より小さくなり、合力は下向きになる。どちらにずれても静止の位置へ向かう力がはたらくので、鉛直方向のつり合いは安定である。

④ 振動の周期。 静止の位置から上向きに $x$ だけずれたとき、反発の力は次のように近似できる。

$$\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi (h_0+x)}=\lambda g\times \frac{h_0}{h_0+x}\fallingdotseq \lambda g\left(1-\frac{x}{h_0}\right)$$

重力との合力は $-\frac{\lambda g}{h_0}x$ で、変位に比例する復元力である。単位長さあたりの質量 $\lambda$ で割ると、角振動数は $\omega =\sqrt{\frac{g}{h_0}}$ である。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{h_0}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{4.9\times 10^{-2}}{9.8}}=2\pi \times 0.0707\fallingdotseq 0.44\mathrm{s}$$

⑤ 電流を $\sqrt{2}$ 倍にしたとき。 $h_0$ は $I^2$ に比例するので2倍の $9.8\times 10^{-2}\mathrm{m}$ になる。周期は $\sqrt{h_0}$ に比例するので $\sqrt{2}$ 倍で、$2\pi \sqrt{\frac{0.098}{9.8}}=0.2\pi \fallingdotseq 0.63\mathrm{s}$ である。

まとめ 逆向きの平行電流の反発の力は間隔に反比例するので、重力とつり合う高さは鉛直方向に安定である。振動の周期は $2\pi \sqrt{\frac{h_0}{g}}$ で、静止の高さだけで定まる。

発展。 水平方向のつり合いは不安定で、案内がないと、導線 2 は横にずれたときに導線 1 から斜めに押されて、さらに横へ移動する。磁気浮上式の鉄道でも、浮かせる力と横方向の安定を保つ仕組みを別々に設計している。

別解

別解:ばねにたとえて周期を求める。 単位長さあたりの力 $f(h)=\frac{k}{h}$($k=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi }$)の、静止の位置での変化の割合は、微分して $f^{\prime }(h_0)=-\frac{k}{h_0^2}=-\frac{\lambda g}{h_0}$ である。

これは、ばね定数(単位長さあたり)$\frac{\lambda g}{h_0}$ のばねに接続された質量 $\lambda$ の物体と同じなので、周期は $2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{\lambda g/h_0}}=2\pi \sqrt{\frac{h_0}{g}}$ となり、④と一致する。長さ $h_0$ の単振り子と同じ式になる。