張力をかけた柔らかい導線は磁場中で円弧になる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 導線は軽いので、どの微小な部分でも、両端の張力と磁場からの力がつり合っている。張力は導線に沿う向きで、曲がった部分の両端では向きがわずかに異なるので、合力が残存する。

この合力と磁場からの力のつり合いの式は、荷電粒子の円運動の運動方程式とよく似た形になる。導線の形と荷電粒子の軌道は、同じ考え方で求められる。

① 微小な部分が受ける力。 磁場に垂直な導線の部分は大きさ $IB\Delta s$ の力を受け、その向きは導線と磁場の両方に垂直である。導線は紙面内にあり、磁場は紙面に垂直なので、力は紙面内で導線に垂直な向きである。

② 円弧になる理由。 微小な部分の両端の張力は大きさ $T$ で、向きの違いを $\Delta \theta$ とすると、合力の大きさは $2T\sin \frac{\Delta \theta }{2}\fallingdotseq T\Delta \theta$ で、曲がりの内側を向く。これが磁場からの力とつり合う。

$$T\Delta \theta =IB\Delta s⟹\frac{\Delta s}{\Delta \theta }=\frac{T}{IB}$$

$\frac{\Delta s}{\Delta \theta }$ は曲がりの半径で、$T$、$I$、$B$ はどの部分でも等しいので、導線は一定の半径の円弧になる。

$$R=\frac{T}{IB}=\frac{0.50}{2.0\times 0.25}=1.0\mathrm{m}$$

③ 中央の点のずれ。 弦 AB の長さは $1.6\mathrm{m}$ で、円の中心から弦までの距離は $\sqrt{1.0^2-0.8^2}=0.60\mathrm{m}$ である。中央の点は直線 AB から $1.0-0.60=0.40\mathrm{m}$ 離れている。

④ 荷電粒子の軌道との対応。 半径が等しい条件 $\frac{T}{IB}=\frac{p}{qB}$ から、次のようになる。

$$\frac{T}{I}=\frac{p}{q}$$

導線の張力が粒子の運動量に、電流が電荷に対応する。

⑤ 陽子の軌道を再現する張力。 陽子の運動量は $p=1.6\times 10^{-27}\times 1.0\times 10^7=1.6\times 10^{-20}\mathrm{kg}\cdot m/s$ で、$\frac{p}{q}=0.10N/A$ である。

$$T=0.10\times I=0.10\times 2.0=0.20\mathrm{N}$$

このとき導線の半径は $\frac{0.20}{2.0\times 0.25}=0.40\mathrm{m}$ で、陽子の軌道の半径 $\frac{1.6\times 10^{-20}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.25}=0.40\mathrm{m}$ に等しい。

まとめ 柔らかい導線の微小な部分では、張力の合力 $T\Delta \theta$ と磁場からの力 $IB\Delta s$ がつり合い、導線は半径 $\frac{T}{IB}$ の円弧になる。$\frac{T}{I}=\frac{p}{q}$ のとき、導線の形は荷電粒子の軌道と一致する。

発展。 磁場の分布が複雑な装置では、張力と電流を調整した導線を設置し、その形から荷電粒子の軌道を求める方法が用いられたことがある。磁場が一様でなくても、各部分で同じつり合いが成り立つので、導線の形は粒子の軌道と一致する。

別解

別解:導線の半分にはたらく力のつり合いで考える。 導線を中央の点で2つに分割し、A 側の半分を考える。この部分には、A 端と中央の点で張力がはたらき、磁場からの力の合力は、弦(A から中央の点まで)の長さを $c$ として $IBc$ で、弦に垂直である(曲がった導線が受ける力は、両端を結ぶまっすぐな導線が受ける力に等しい)。

半径 $R$ の円弧で、A 側の半分の弦の中心角を $\phi$ とすると、2つの張力の合力は $2T\sin \frac{\phi }{2}$ で、弦の長さは $c=2R\sin \frac{\phi }{2}$ である。つり合いの式 $2T\sin \frac{\phi }{2}=IB\times 2R\sin \frac{\phi }{2}$ から $R=\frac{T}{IB}$ となり、②と一致する。