磁場中の斜面をすべる帯電した小球が斜面から離れる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ローレンツ力は常に速度に垂直なので、斜面に沿ってすべる小球には、斜面に垂直な向きにはたらく。斜面に沿う方向の運動には影響せず、重力の斜面に沿う成分だけで加速する。

斜面に垂直な方向では、重力の成分、垂直抗力、ローレンツ力がつり合う。速さが増加するとローレンツ力が大きくなり、垂直抗力が $0$ になったとき、小球は斜面から離れる。

① ローレンツ力。 正の電荷が斜面に沿って下向きに進み、磁場が紙面の表から裏の向きのとき、フレミングの左手の法則からローレンツ力は斜面に垂直で斜面から離れる向きである。大きさは $qvB$ である。

② 斜面に沿う加速度。 ローレンツ力は速度に垂直で、斜面に沿う成分をもたない。斜面に沿う方向に力を及ぼすのは重力の成分 $mg\sin 30^{\circ }$ だけなので、加速度は $g\sin 30^{\circ }=4.9m/{\mathrm{s}}^2$ のまま変化しない。

③ 垂直抗力と離れる速さ。 斜面に垂直な方向のつり合いから、次のようになる。

$$N+qvB=mg\cos 30^{\circ }⟹N=mg\cos 30^{\circ }-qvB$$

$N=0$ になる速さで、小球は斜面から離れる。

$$v=\frac{mg\cos 30^{\circ }}{qB}=\frac{4.0\times 10^{-3}\times 9.8\times 0.866}{1.0\times 10^{-3}\times 2.0}\fallingdotseq 17m/s$$

④ 時間と距離。 斜面に沿う方向は加速度 $4.9m/{\mathrm{s}}^2$ の等加速度運動なので、次のようになる。

$$t=\frac{17.0}{4.9}\fallingdotseq 3.5\mathrm{s},s=\frac{v^2}{2g\sin 30^{\circ }}=\frac{17.0^2}{2\times 4.9}\fallingdotseq 29\mathrm{m}$$

⑤ 磁場が逆向きのとき。 ローレンツ力は斜面に押しつける向きになり、$N=mg\cos 30^{\circ }+qvB$ は速さとともに増加するので、小球は斜面から離れない。$2.0\mathrm{s}$ 後の速さは $4.9\times 2.0=9.8m/s$ である。

$$N=4.0\times 10^{-3}\times 9.8\times 0.866+1.0\times 10^{-3}\times 9.8\times 2.0\fallingdotseq 5.4\times 10^{-2}\mathrm{N}$$

まとめ ローレンツ力は速度に垂直で仕事をしないので、斜面に沿う運動は磁場がない場合と同じである。斜面に垂直な方向のつり合いで垂直抗力が定まり、それが $0$ になる速さ $\frac{mg\cos 30^{\circ }}{qB}$ で小球は斜面から離れる。

発展。 斜面を離れたあとは、重力とローレンツ力を受けて、斜面から離れる向きに曲がる運動になる。このとき小球は、重力の向きに垂直な方向に平均して一定の速さで移動しながら、上下に振動する運動をする。

別解

別解:エネルギーの保存から離れる位置を求める。 ローレンツ力は仕事をせず、斜面はなめらかなので、力学的エネルギーが保存される。斜面に沿って距離 $s$ すべると、高さは $s\sin 30^{\circ }$ だけ減少する。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgs\sin 30^{\circ }⟹s=\frac{v^2}{2g\sin 30^{\circ }}$$

離れるときの速さ $v=\frac{mg\cos 30^{\circ }}{qB}\fallingdotseq 17.0m/s$ を代入すると $s\fallingdotseq 29\mathrm{m}$ となり、④と一致する。ローレンツ力があっても、速さと高さの関係は磁場がない場合と同じである。