磁場と平行な電場の中で、らせんの間隔が大きくなる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ローレンツ力は速度と磁場の両方に垂直で、速度の磁場と平行な成分は力に関係しない。電場は $z$ の向きなので、$z$ 成分だけを変化させる。

速度の $xy$ 成分と $z$ 成分は、互いに影響しない2つの運動に分解して扱える。$xy$ 平面では一定の円運動、$z$ 方向では等加速度運動になる。

① 投影した円運動。 $xy$ 成分の大きさは $v_0$ のままで、ローレンツ力 $q{v}_{0}B$ が向心力になる。

$$r=\frac{m{v}_0}{qB}=\frac{1.6\times 10^{-27}\times 1.0\times 10^5}{1.6\times 10^{-19}\times 0.10}=1.0\times 10^{-2}\mathrm{m},T=\frac{2\pi m}{qB}=2\pi \times 10^{-7}\mathrm{s}$$

② 半径が変化しない理由。 電場による力は $z$ の向きなので、速度の $xy$ 成分を変化させない。ローレンツ力は速度の $xy$ 成分と磁場だけで定まり、$z$ 成分が増加しても変化しない。したがって、$xy$ 平面での円運動の半径と周期は変化しない。

③ 1周期後の $z$ 座標。 $z$ 方向の加速度は $a=\frac{qE}{m}=1.0\times 10^{10}m/{\mathrm{s}}^2$ である。

$$z_1=\frac{1}{2}a{T}^2=\frac{1}{2}\times 1.0\times 10^{10}\times (2\pi \times 10^{-7}{)}^2\fallingdotseq 2.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

④ らせんの間隔の比。 投影した位置は周期 $T$ ごとに原点に一致するので、$z_n=\frac{1}{2}a(nT{)}^2=n^2{z}_1$ である。

$$z_1:(z_2-z_1):(z_3-z_2)=1:(4-1):(9-4)=1:3:5$$

らせんの間隔は、等加速度運動の距離と同じ奇数の比で大きくなる。

⑤ 運動エネルギーの増加と仕事。 $xy$ 成分の大きさは変化しないので、運動エネルギーの増加は $z$ 成分の分だけである。1周期後の $z$ 成分の速さは $aT=2\pi \times 10^{3}m/s$ である。

$$\frac{1}{2}m(aT{)}^2=\frac{1}{2}\times 1.6\times 10^{-27}\times (2\pi \times 10^3{)}^2\fallingdotseq 3.2\times 10^{-20}\mathrm{J}$$

電場がした仕事は $qE{z}_1=1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^2\times 1.97\times 10^{-3}\fallingdotseq 3.2\times 10^{-20}\mathrm{J}$ で、等しい。ローレンツ力は仕事をしないので、運動エネルギーの増加はすべて電場の仕事による。

まとめ 速度を磁場に平行な成分と垂直な成分に分解すると、垂直な成分は電場の影響を受けずに一定の円運動を維持し、平行な成分は電場で加速される。そのため、らせんの間隔は時間とともに大きくなる。

発展。 磁場に沿って電場をかけると、荷電粒子を磁場の向きに加速しながら、磁場に垂直な方向には一定の範囲に閉じ込められる。磁場で荷電粒子の運動を制御する装置では、このように運動を成分に分解して設計する。

別解

別解:運動方程式を成分ごとに立てる。 速度を $(v_x,v_y,v_z)$ とすると、ローレンツ力は $q(v_{y}B,-v_{x}B,0)$、電場による力は $(0,0,qE)$ である。

$$m\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=q{v}_{y}B,m\frac{\Delta v_y}{\Delta t}=-q{v}_{x}B,m\frac{\Delta v_z}{\Delta t}=qE$$

最初の2式には $v_z$ が含まれず、$xy$ 平面の運動は電場がない場合と同じ角速度 $\frac{qB}{m}$ の円運動になる。3番目の式は $z$ 方向の等加速度運動を表し、$v_z=\frac{qE}{m}t$ である。2つの運動が独立していることが、式の形から確認できる。