水素原子の電子が原子核の位置につくる磁場

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 円軌道を回る電子は、軌道上の1点を周期 $T$ ごとに通過する。1秒間に通過する電荷は $\frac{e}{T}$ で、これを円形電流とみなせる。

電流そのものはわずかだが、円形電流の中心の磁場は半径に反比例する。原子の大きさはきわめて小さいので、中心の磁場は強くなる。

① 電子の速さ。 クーロン力が向心力になる。

$$m\frac{v^2}{r}=k\frac{e^2}{r^2}⟹v=\sqrt{\frac{k{e}^2}{mr}}=\sqrt{\frac{9.0\times 10^9\times (1.6\times 10^{-19}{)}^2}{9.1\times 10^{-31}\times 5.3\times 10^{-11}}}\fallingdotseq 2.2\times 10^{6}m/s$$

② 周期。

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \times 5.3\times 10^{-11}}{2.19\times 10^6}\fallingdotseq 1.5\times 10^{-16}\mathrm{s}$$

③ 電流。 軌道上の1点を、時間 $T$ ごとに電荷 $e$ が通過する。

$$I=\frac{e}{T}=\frac{1.6\times 10^{-19}}{1.52\times 10^{-16}}\fallingdotseq 1.1\times 10^{-3}\mathrm{A}$$

④ 原子核の位置の磁場。 円形電流の中心の磁束密度は次のとおりである。

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2r}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 1.05\times 10^{-3}}{2\times 5.3\times 10^{-11}}\fallingdotseq 12\mathrm{T}$$

電子は負の電荷なので、電流の向きは電子の運動と反対の時計回りである。右ねじの法則から、中心の磁場は紙面の表から裏の向きである。

⑤ 地磁気との比較。

$$\frac{12}{3\times 10^{-5}}=4\times 10^5$$

地磁気の約 $40$ 万倍で、実験室でつくる強い電磁石の磁場(数 T 程度)よりも強い。

まとめ 回転する電荷は円形電流とみなせ、電流は電荷を周期で割った値である。電子の電流はわずかでも、軌道の半径がきわめて小さいので、原子核の位置には強い磁場ができる。

発展。 原子核の位置の磁場は、原子核のもつ小さな磁石の性質と相互作用して、原子のエネルギーをわずかに変化させる。物質の磁石の性質も、原子の中の電子の運動と、電子自身がもつ磁石の性質に由来している。

別解

別解:電流を文字式のまま求めて代入する。 ①の $v=\sqrt{\frac{k{e}^2}{mr}}$ を用いると、電流は次のようになる。

$$I=\frac{e}{T}=\frac{ev}{2\pi r}=\frac{e}{2\pi r}\sqrt{\frac{k{e}^2}{mr}}$$

これを $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2r}$ に代入すると $B=\frac{{\mu }_0{e}^2}{4\pi r^2}\sqrt{\frac{k}{mr}}$ で、磁束密度は $r^{-\frac{5}{2}}$ に比例する。数値を代入すると $\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 2.56\times 10^{-38}}{4\pi \times 2.81\times 10^{-21}}\times \sqrt{\frac{9.0\times 10^9}{4.82\times 10^{-41}}}\fallingdotseq 12\mathrm{T}$ で、④と一致する。半径が小さいほど急激に強くなることも、この式から確認できる。