物理 / 電流と磁場

地磁気でブラウン管の電子線が曲がる

★★★★ 難関ローレンツ力地磁気近似

問題

ブラウン管の中で、電子を電圧 $2.0 kV$ で加速し、水平に東向きに発射する。電子は電子銃から $L = 0.30 m$ 離れた蛍光面に到達する。この場所の地磁気の水平成分は北向きで、磁束密度は $B = 3.0 \times 1 0^{- 5} T$ である。地磁気の鉛直成分と重力は考えない。電子の比電荷を $\frac{e}{m} = 1.76 \times 1 0^{11} C/kg$ とする。

南から観察した図。電子は東向きに進み、地磁気の水平成分は北向き(紙面の表から裏の向き)である

(1) 加速された電子の速さを求めよ。

(2) 電子が地磁気から受ける力の向きを述べよ。

(3) 電子の円運動の半径を求めよ。

(4) 地磁気がない場合と比較して、蛍光面に到達する位置は何 mm ずれるか。円の半径が $L$ より十分大きいことを用いて近似せよ。

(5) 加速の電圧を2倍にすると、(4)のずれは何倍になるか。また、ブラウン管を北向きに発射する向きに設置すると、ずれはどうなるか。

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電子は負の電荷であることに注意して、力の向きを定める。半径 $r$ の円の一部を距離 $L$ 進むとき、接線からのずれは $L$ と $r$ でどう表せるか。

解答・解説

方針

電子は地磁気から速度に垂直なローレンツ力を受け、半径 $r = \frac{v}{( e / m ) B}$ の円の一部を描く。 $r$ が $L$ より十分大きいとき、距離 $L$ 進む間のずれは $\frac{L ^{2}}{2 r}$ で近似できる。速さは電圧の平方根に比例するので、ずれは電圧の平方根に反比例する。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 地磁気は弱いが、電子の質量が非常に小さいので、ローレンツ力による曲がりは無視できない。電子は半径の大きい円の一部を描いて進む。

円の半径が進む距離より十分大きいとき、まっすぐ進んだ場合からのずれは、円の一部を放物線で近似して求められる。

① 電子の速さ。

$\frac{1}{2} m v^{2} = e V ⟹ v = 2 \frac{e}{m} V = 2 \times 1.76 \times 1 0^{11} \times 2.0 \times 1 0^{3} ≒ 2.65 \times 1 0^{7} m/s$

② 力の向き。 正の電荷が東向きに進むとき、北向きの磁場から受ける力は、フレミングの左手の法則から鉛直上向きである。電子は負の電荷なので、力は鉛直下向きになる。

③ 円運動の半径。

$r = \frac{v}{( e / m ) B} = \frac{2.65 \times 1 0 ^{7}}{1.76 \times 1 0 ^{11} \times 3.0 \times 1 0 ^{- 5}} ≒ 5.0 m$

④ 蛍光面でのずれ。 半径 $r$ の円の一部を距離 $L$ 進むとき、接線からのずれ $y$ は、三平方の定理から $r^{2} = L^{2} + (r - y)^{2}$ を満たす。 $y$ は $r$ より十分小さいので $y^{2}$ を無視すると、次のようになる。

$y ≒ \frac{L ^{2}}{2 r} = \frac{0.3 0 ^{2}}{2 \times 5.0} ≒ 9.0 \times 1 0^{- 3} m = 9.0 mm$

電子の軌道(ずれは誇張して描いている)。半径 r≒5.0 m の円の一部を描き、蛍光面で y≒L²/(2r)≒9.0 mm だけ下にずれる

蛍光面に到達する位置は下向きに約 $9.0 mm$ ずれる。

重要半径

r

の円の一部を距離

L

(

L ≪ r

)進む間の、直線からのずれは

\frac{L ^{2}}{2 r}

⑤ 電圧と向きを変化させたとき。 $v$ は電圧の平方根に比例し、 $r$ は $v$ に比例するので、電圧を2倍にすると $r$ は $2$ 倍になる。ずれは $r$ に反比例するので $\frac{1}{2}$ 倍で、約 $6.3 mm$ になる。

北向きに発射すると、速度と地磁気の水平成分が平行になり、ローレンツ力ははたらかない。水平成分によるずれはなくなる。

まとめ 地磁気のような弱い磁場でも、軽い電子は数 m の半径で曲げられる。距離 $L$ でのずれは $\frac{L ^{2}}{2 r}$ で、ブラウン管の向きによって大きさが変化する。

発展。 ブラウン管を用いたテレビやモニターでは、地磁気による像のずれを補正する回路が組み込まれていた。向きを変化させると画面の色や位置がずれることがあったのは、この効果によるものである。

答

(1) 約 $2.65 \times 1 0^{7} m/s$ (2) 鉛直下向き (3) 約 $5.0 m$ (4) 約 $9.0 mm$ (下向き) (5) $\frac{1}{2}$ 倍(約 $6.3 mm$ )。北向きに発射すると、速度と水平成分が平行になるので、水平成分によるずれはない

別解

別解:ローレンツ力を一定とみなして放物運動で近似する。 曲がりがわずかなので、ローレンツ力 $e v B$ は常に鉛直下向きで、水平な速さ $v$ も変化しないと近似できる。蛍光面に到達するまでの時間は $t = \frac{L}{v}$ で、鉛直方向の加速度は $a = \frac{e}{m} v B$ である。

$y = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{e}{m} v B \times \frac{L ^{2}}{v ^{2}} = \frac{( e / m ) B L ^{2}}{2 v}$

$r = \frac{v}{( e / m ) B}$ を用いると $y = \frac{L ^{2}}{2 r}$ で、④と一致する。数値を代入すると $\frac{1.76 \times 1 0 ^{11} \times 3.0 \times 1 0 ^{- 5} \times 0.09}{2 \times 2.65 \times 1 0 ^{7}} ≒ 9.0 \times 1 0^{- 3} m$ である。

ポイント

電子は負の電荷なので、左手の法則で求めた向きと反対の向きに力を受ける
地磁気でも電子は半径数 m の円の一部を描き、距離 $L$ でのずれは $\frac{L ^{2}}{2 r}$
ずれは速さに反比例し、加速の電圧の平方根に反比例する

よくある間違い

電子が受ける力の向きを、正の電荷と同じ鉛直上向きとする。電子は負の電荷なので、力は反対の下向きである
ずれを円の半径と距離の比 $\frac{L}{r}$ に $L$ をかけた $\frac{L ^{2}}{r}$ とする。三平方の定理から、ずれは $\frac{L ^{2}}{2 r}$ である
電圧を2倍にすると、ずれが $\frac{1}{2}$ 倍になると考える。速さは電圧の平方根に比例するので、ずれは $\frac{1}{2}$ 倍である