ソレノイドの中に電子を閉じ込める電流の条件

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 一様な磁場の中で、磁場に垂直な速度をもつ電子は等速円運動をする。中心軸上の点 O から発射された電子の円軌道は、O を通る円である。

壁に衝突するかどうかは、円軌道の中心ではなく、軌道上で中心軸から最も遠い点の位置で定まる。O を通る円では、それは O の反対側の点である。

① 円運動の半径。 ローレンツ力 $evB$ が向心力になる。

$$m\frac{v^2}{r}=evB⟹r=\frac{mv}{eB}=\frac{v}{(e/m)B}$$

② 中心軸から最も遠い点。 円軌道は O を通るので、O から最も遠い軌道上の点は、円の中心をはさんで O の反対側にあり、距離は直径 $2r$ である。

③ 壁に衝突しない条件。 $2r\le R$ であればよい。

$$\frac{2v}{(e/m)B}\le R⟹B\ge \frac{2v}{(e/m)R}=\frac{2\times 1.76\times 10^7}{1.76\times 10^{11}\times 0.040}=5.0\times 10^{-3}\mathrm{T}$$

④ 必要な電流。 ソレノイドの内部の磁束密度は $B={\mu }_{0}nI$ なので、次のようになる。

$$I\ge \frac{B}{{\mu }_{0}n}=\frac{5.0\times 10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7}\times 2000}\fallingdotseq 2.0\mathrm{A}$$

⑤ 中心軸を再び通過するまでの時間と、平行な成分がある場合。 電子は1周すると O の位置を再び通過するので、時間は円運動の周期である。

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{(e/m)B}=\frac{2\pi }{1.76\times 10^{11}\times 5.0\times 10^{-3}}\fallingdotseq 7.1\times 10^{-9}\mathrm{s}$$

速度に中心軸に平行な成分があると、その成分は磁場と平行なのでローレンツ力を受けず、電子はらせん運動をする。軸に垂直な面に投影した運動は、垂直な成分だけによる同じ円運動なので、軸からの距離は $2r$ をこえず、(3)の条件で壁に衝突しない。

まとめ 一点から発射した荷電粒子の円軌道は出発点を通るので、到達する最大の距離は直径 $2r$ である。$2r\le R$ と $B={\mu }_{0}nI$ から、閉じ込めるための磁束密度と電流が定まる。

発展。 磁場で荷電粒子を閉じ込める考え方は、核融合の研究でプラズマ(電離した気体)を閉じ込める装置にも用いられている。粒子の速さが大きいほど円の半径が大きいので、強い磁場が必要になる。

別解

別解:軌道の中心の位置から考える。 電子の円軌道の中心 C は、O から速度に垂直な向きに $r$ だけ離れた点で、軸から $r$ の距離にある。軌道上の点は C から $r$ の距離にあるので、軸からの距離は最大でも $r+r=2r$ である(三角形の2辺の和は他の1辺以上)。

等号は、軌道上の点が O と C を結ぶ直線上で、C の反対側にあるときに成り立つ。この点が壁の内側にある条件 $2r\le R$ は、③と同じである。