物理 / 電流と磁場

2本の平行な電流の垂直二等分線上で磁場が最も強い点

★★★★ 難関直線電流の磁場磁場の重ね合わせ最大値

問題

十分に長い2本の平行な導線が、 $x y$ 平面に垂直に、 $x = - a$ と $x = a$ の位置を通っている( $a = 0.10 m$ )。どちらの導線にも、紙面の裏から表の向きに $I = 10 A$ の電流が流れている。 $y$ 軸上の点 P $(0, y)$ の磁場を考える( $y \geq 0$ )。真空の透磁率を $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} N/ A^{2}$ とする。

紙面の裏から表へ同じ向きの電流が流れる2本の導線(x=±a)と、y 軸上の点 P

(1) 原点 O での磁束密度の大きさを求めよ。

(2) P での磁束密度の大きさを $y$ の式で表し、その向きを述べよ。

(3) P での磁束密度が最大になる $y$ と、その最大値を求めよ。

(4) $y = 0.050 m$ と $y = 0.20 m$ での磁束密度の大きさを求めよ。

(5) $x = a$ の導線の電流の向きだけを逆にすると、 $y$ 軸上で磁束密度が最大になるのはどこか。また、その値を求めよ。

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2本の導線が P につくる磁場の大きさは等しい。それぞれの向きを分解すると、どの成分が打ち消し合うか。 $y$ が $0$ に近いときと十分大きいときに、磁場はどうなるか。

解答・解説

方針

2本の導線から P までの距離は等しく、磁束密度の大きさはどちらも $\frac{μ _{0} I}{2 π r}$ ( $r = a^{2} + y^{2}$ )である。向きは導線と P を結ぶ線に垂直で、 $y$ 成分は打ち消し合い、 $x$ 成分だけが加算される。合成した磁束密度は $\frac{μ _{0} I y}{π ( a ^{2} + y ^{2} )}$ で、相加平均と相乗平均の関係から $y = a$ で最大になる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) P は2本の導線から等距離にあるので、2つの磁場の大きさは等しい。向きはそれぞれの導線と P を結ぶ線に垂直で、図形の対称性から $y$ 成分は打ち消し合う。

$y = 0$ では2つの磁場が完全に打ち消し合い、 $y$ が大きいと距離が大きくなって磁場は弱くなる。その間のどこかに、磁場が最も強い点がある。

① 原点 O での磁場。 2本の導線が O につくる磁場は、大きさが等しく向きが反対なので、磁束密度は $0$ である。

② P での磁場。 導線から P までの距離は $r = a^{2} + y^{2}$ で、それぞれの磁束密度の大きさは $\frac{μ _{0} I}{2 π r}$ である。向きを分解すると、 $y$ 成分は打ち消し合い、 $x$ 成分はどちらも $- x$ の向きで、大きさの $\frac{y}{r}$ 倍である。

$B = 2 \times \frac{μ _{0} I}{2 π r} \times \frac{y}{r} = \frac{μ _{0} I y}{π ( a ^{2} + y ^{2} )}$

y=a の点 P での磁場。2つの磁場の y 成分は打ち消し合い、合成した磁場は −x の向きになる

③ 最大になる位置。 $B = \frac{μ _{0} I}{π} \times \frac{1}{\frac{a ^{2}}{y} + y}$ と変形すると、分母の2つの項の積 $\frac{a ^{2}}{y} \times y = a^{2}$ は一定である。相加平均と相乗平均の関係から、分母は $\frac{a ^{2}}{y} = y$ 、すなわち $y = a$ のとき最小になり、 $B$ は最大になる。

$B_{max} = \frac{μ _{0} I}{2 π a} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 10}{2 π \times 0.10} = 2.0 \times 1 0^{- 5} T$

この値は、1本の導線が距離 $a$ の点につくる磁束密度に等しい。

重要同じ向きの2本の平行電流の垂直二等分線上では、磁場は導線の間隔の半分だけ離れた点(

y = a

)で最大になる

④ 2つの位置での値。

$B (0.050) = \frac{4 \times 1 0 ^{- 6} \times 0.050}{0.010 + 0.0025} = 1.6 \times 1 0^{- 5} T, B (0.20) = \frac{4 \times 1 0 ^{- 6} \times 0.20}{0.010 + 0.040} = 1.6 \times 1 0^{- 5} T$

$\frac{μ _{0} I}{π} = 4 \times 1 0^{- 6} T \cdot m$ を用いた。2つの値は等しい。 $B$ の式は $y$ を $\frac{a ^{2}}{y}$ に置換しても変化しないので、 $y = 0.050$ と $y = \frac{0.010}{0.050} = 0.20$ で同じ値になる。

⑤ 一方の電流を逆にしたとき。 2つの磁場の $x$ 成分が打ち消し合い、 $y$ 成分が加算される。 $y$ 成分は大きさの $\frac{a}{r}$ 倍なので、次のようになる。

$B^{'} = \frac{μ _{0} I a}{π ( a ^{2} + y ^{2} )}$

これは $y = 0$ で最大で、 $B^{'} = \frac{μ _{0} I}{π a} = 4.0 \times 1 0^{- 5} T$ である。

まとめ 2本の平行電流の垂直二等分線上の磁場は、対称性から一方の成分だけが残存する。同じ向きの電流では $y = a$ で最大、逆向きの電流では中点で最大になる。

発展。 逆向きの電流を流した2本の導線(往復の導線)は、遠く離れた点では磁場がほぼ打ち消し合う。電源のコードの2本の導線を近づけて配線するのは、まわりにつくる磁場を小さくするためでもある。

答

(1) $0$ (2) $\frac{μ _{0} I y}{π ( a ^{2} + y ^{2} )}$ で、 $- x$ の向き (3) $y = a = 0.10 m$ で $2.0 \times 1 0^{- 5} T$ (4) どちらも $1.6 \times 1 0^{- 5} T$ (5) 原点 O で、 $4.0 \times 1 0^{- 5} T$

別解

別解:微分して最大値を求める。 $f (y) = \frac{y}{a ^{2} + y ^{2}}$ を微分すると、次のようになる。

$f^{'} (y) = \frac{( a ^{2} + y ^{2} ) - 2 y ^{2}}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{a ^{2} - y ^{2}}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$

$0 < y < a$ で正、 $y > a$ で負なので、 $f$ は $y = a$ で最大になる。最大値は $f (a) = \frac{1}{2 a}$ で、 $B_{max} = \frac{μ _{0} I}{π} \times \frac{1}{2 a} = \frac{μ _{0} I}{2 π a}$ となり、③と一致する。

ポイント

等距離の2本の電流の磁場は大きさが等しく、対称性から一方の成分が打ち消し合う
同じ向きの電流: $B = \frac{μ _{0} I y}{π ( a ^{2} + y ^{2} )}$ で、 $y = a$ のとき最大
逆向きの電流: $B = \frac{μ _{0} I a}{π ( a ^{2} + y ^{2} )}$ で、中点で最大

よくある間違い

2つの磁場の大きさをそのまま加えて、 $2 \times \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ とする。向きが異なるので、成分に分解して合成する
導線に近いほど磁場が強いので、 $y$ 軸上では原点で最大になると考える。同じ向きの電流では、原点で2つの磁場が打ち消し合って $0$ になる
磁場の向きを、導線から P へ向かう向きとする。直線電流の磁場は導線を中心とする円の接線の向きである