2枚の鏡で反射した光はいつも同じ角度だけ向きが変化する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 光の向きを角で表すと、鏡面での反射は「鏡面の方向に関して折り返す」操作である。鏡面の方向を角 $\alpha$ の直線とすると、向きの角 $\theta$ の光は、反射後に $2\alpha -\theta$ の向きになる。

2枚の鏡で順に反射すると、2回の折り返しを順に行う操作になる。計算すると入射の角 $\theta$ が打ち消され、向きの変化は鏡面のなす角だけで定まる。

① 鏡の回転と反射光。 鏡を $\phi$ 回転させると、法線も $\phi$ 回転し、入射角と反射角がそれぞれ $\phi$ 変化する。入射光の向きは変化しないので、反射光の向きは $2\phi$ 回転する。

目盛り板までの距離が $2.0\mathrm{m}$ のとき、光が到達する位置の移動は次のとおりである。

$$2\times 1.0\times 10^{-3}\times 2.0=4.0\times 10^{-3}\mathrm{m}=4.0\mathrm{mm}$$

② 2枚の鏡での反射。 ${\mathrm{M}}_1$ の鏡面の方向を角 $0^{\circ }$、${\mathrm{M}}_2$ の鏡面の方向を角 $60^{\circ }$ とし、最初の光の向きの角を $\beta$ とする。${\mathrm{M}}_1$ で反射すると、向きの角は $2\times 0^{\circ }-\beta =-\beta$ になる。次に ${\mathrm{M}}_2$ で反射すると、次のようになる。

$$2\times 60^{\circ }-(-\beta )=120^{\circ }+\beta$$

最初の向き $\beta$ から $120^{\circ }$ 回転していて、この回転の角は $\beta$ によらない。

③ 鏡面のなす角が $90^{\circ }$ のとき。 向きの変化は $2\times 90^{\circ }=180^{\circ }$ で、光は入射した光と平行で反対の向きに進む。入射の位置によって反射後の位置はずれるが、向きは常に反対である。

④ コーナーキューブ。 3枚の鏡を互いに直角に組み合わせると、3回の反射で、光の向きの3つの成分がすべて反対になる。そのため光は、入射の向きによらず、入射した光と平行で反対の向きに進む。

月面の器具に地球からレーザー光を送信すると、器具の向きを地球に正確に調整しなくても、光は送信した地点へ向かって反射される。光が往復する時間を測定すれば、光の速さから月までの距離が求まる。

まとめ 反射は鏡面に関する折り返しで、2回の折り返しは、鏡面のなす角の2倍の回転になる。そのため2枚の鏡による向きの変化は入射の向きによらず、直角の組み合わせでは光が必ず来た向きへ逆進する。

発展。 ①の性質(鏡の回転の2倍だけ反射光が回転する)を用いると、鏡のわずかな回転を、離れた目盛り板の上の大きな移動として測定できる。この方法は光てことよばれ、細い糸のねじれの角などの測定に用いられる。

別解

別解:成分で考える。 鏡面のなす角が $90^{\circ }$ の場合、${\mathrm{M}}_1$ を $x$ 軸、${\mathrm{M}}_2$ を $y$ 軸に沿って配置する。$x$ 軸に沿う鏡での反射では速度の $y$ 成分だけが反対になり、$y$ 軸に沿う鏡では $x$ 成分だけが反対になる。

2回反射すると、$(v_x,v_y)\to (v_x,-v_y)\to (-v_x,-v_y)$ となり、速度が完全に反対になる。入射の向き $(v_x,v_y)$ によらないので、③の結果が得られる。3次元では、3枚の互いに直角な鏡で $x$、$y$、$z$ 成分が1回ずつ反対になり、④のコーナーキューブの性質になる。