光ファイバーの中で光の到着時刻がずれる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) コアの中では、どの向きに進む光も同じ速さ $\frac{c}{n_1}$ で進む。それでも到着時刻に差が生じるのは、斜めに進む光ほど、ジグザグに進む経路が長いからである。

全反射で閉じ込められる光のうち最も斜めに進むのは、境界に臨界角で入射する光である。その光の経路の長さを中心軸の長さと比較すれば、到着時刻の差の最大値が求まる。

① コアの中の光の速さ。

$$v=\frac{c}{n_1}=\frac{3.0\times 10^8}{1.50}=2.0\times 10^{8}m/s$$

② 中心軸に平行に進む光の時間。

$$t_0=\frac{L}{v}=\frac{1.0\times 10^3}{2.0\times 10^8}=5.0\times 10^{-6}\mathrm{s}$$

③ 最も斜めに進む光の経路の長さ。 境界に臨界角 ${\theta }_c$ で入射する光は、境界の法線と ${\theta }_c$ の角をなすので、中心軸とは $90^{\circ }-{\theta }_c$ の角をなして進む。中心軸に沿って長さ $\Delta x$ 進む間に、光は $\frac{\Delta x}{\cos (90^{\circ }-{\theta }_c)}=\frac{\Delta x}{\sin {\theta }_c}$ だけ進む。反射しても中心軸とのなす角は変化しないので、全体の経路の長さは次のとおりである。

$$\frac{L}{\sin {\theta }_c}=\frac{L}{0.99}\fallingdotseq 1.01L$$

④ 到着時刻の差。 経路が $\frac{1}{0.99}$ 倍なので、時間も $\frac{1}{0.99}$ 倍になる。

$$\Delta t=t_0\left(\frac{1}{0.99}-1\right)=5.0\times 10^{-6}\times 0.0101\fallingdotseq 5.1\times 10^{-8}\mathrm{s}$$

⑤ 送信できるパルスの数の上限。 1つのパルスは到着するまでに、時間の幅が約 $5.1\times 10^{-8}\mathrm{s}$ になる。次のパルスと重ならないように、間隔をこれより長くする必要がある。

$$\frac{1}{5.1\times 10^{-8}}\fallingdotseq 2\times 10^7\text{個}$$

1秒間に送信できるパルスの数は、およそ $2\times 10^7$ 個が上限である。ファイバーが長くなると時間差は長さに比例して大きくなり、上限はさらに小さくなる。

まとめ 光ファイバーの中では、全反射の角度によって経路の長さが異なり、同時に入射した光でも到着時刻に差が生じる。その差は $\frac{1}{\sin {\theta }_c}-1$ に比例するので、コアとクラッドの屈折率を近い値にして $\sin {\theta }_c$ を $1$ に近づけるほど小さくなる。

発展。 コアの屈折率を中心ほど大きく、外側ほど小さくしたファイバーでは、斜めに進む光ほど、光が速く進む外側の部分を長く通るので、経路の長さの差が打ち消されて到着時刻が一致しやすくなる。

別解

別解:中心軸に沿う速さの成分で考える。 最も斜めに進む光は速さ $v=2.0\times 10^{8}m/s$ で、中心軸と $90^{\circ }-{\theta }_c$ の角をなして進む。中心軸に沿う速さの成分は $v\cos (90^{\circ }-{\theta }_c)=v\sin {\theta }_c=0.99v$ である。

他端に到達するまでの時間は $\frac{L}{0.99v}=\frac{t_0}{0.99}$ で、③④と同じ結果になる。反射のたびに向きは変化するが、中心軸に沿う成分の大きさは変化しないので、全体の時間を1回の計算で求められる。