物理 / 光

プリズムの偏角が最小になるとき

★★★★ 難関屈折の法則プリズム分散

問題

頂角 $A = 6 0^{\circ}$ 、屈折率 $n = 2$ のガラスのプリズムに、単色光を入射させる。光はプリズムの一方の側面から入り、もう一方の側面から出射する。入射する光の向きと出射する光の向きのなす角を偏角 $D$ とする。

頂角 A=60° のプリズムに、一方の側面から単色光を入射させる

(1) 入射面での屈折角を $r_{1}$ 、出射面での入射角を $r_{2}$ とすると、 $r_{1} + r_{2} = A$ が成り立つことを、図形の関係から説明せよ。

(2) 入射角を $i_{1}$ 、出射角を $i_{2}$ とすると、偏角は $D = i_{1} + i_{2} - A$ と表される。光がプリズムの中を対称に進む( $r_{1} = r_{2}$ )とき、 $i_{1}$ と $D$ を求めよ。

(3) 入射角を $6 0^{\circ}$ にすると、偏角は約 $3 2^{\circ}$ になる。(2)の結果と比較して、偏角が最小になるのはどんな進み方のときか述べよ。

(4) 最小の偏角を $D_{min}$ とすると、屈折率は $n = \frac{sin \frac{A + D _{min}}{2}}{sin \frac{A}{2}}$ と表される。(2)の結果がこの式を満たすことを確認せよ。

(5) 白色光を入射させると、紫の光のほうが赤の光より大きく曲がる。その理由を屈折率の違いから述べよ。

ヒントを見る

2つの側面の法線は何度の角で交わるか。光が入射面と出射面でそれぞれどれだけ曲がるかを合計すると、偏角になる。対称に進むときの $r_{1}$ はいくらか。

解答・解説

方針

偏角は、入射面での曲がり $i_{1} - r_{1}$ と、出射面での曲がり $i_{2} - r_{2}$ の和である。プリズムの中では $r_{1} + r_{2} = A$ なので、 $D = i_{1} + i_{2} - A$ になる。対称に進むときは $r_{1} = r_{2} = \frac{A}{2}$ で、屈折の法則から入射角と偏角が求まる。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) プリズムでは、光は入射面と出射面の2回屈折し、どちらでも底面の側へ曲がる。偏角はこの2回の曲がりの和である。

プリズムの中の2つの角 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ の和は、頂角 $A$ に等しい。対称に進む場合は $r_{1} = r_{2} = \frac{A}{2}$ なので、屈折の法則だけで入射角と偏角が求まる。入射角を変化させて偏角を比較すると、対称のときが最小であることが確認できる。

① $r_{1} + r_{2} = A$ の理由。 頂点と、光が入射する点・出射する点、2本の法線の交点でできる四角形を考える。光が入射する点と出射する点の角はどちらも $9 0^{\circ}$ なので、法線どうしのなす角は $36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - A = 18 0^{\circ} - A$ である。

プリズムの中の光線と2本の法線がつくる三角形の内角の和から、次の式が成り立つ。

$r_{1} + r_{2} + (18 0^{\circ} - A) = 18 0^{\circ} ⟹ r_{1} + r_{2} = A$

② 対称に進むとき。 $r_{1} = r_{2} = 3 0^{\circ}$ なので、屈折の法則より次のようになる。

$sin i_{1} = n sin r_{1} = 2 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{2} ⟹ i_{1} = 4 5^{\circ}$

出射面でも同じ関係なので $i_{2} = 4 5^{\circ}$ で、偏角は $D = 4 5^{\circ} + 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ である。

公式プリズムの偏角

D = i_{1} + i_{2} - A

、プリズムの中では

r_{1} + r_{2} = A

③ 偏角が最小になるとき。 入射角 $6 0^{\circ}$ では偏角が約 $3 2^{\circ}$ で、対称に進むときの $3 0^{\circ}$ より大きい。入射角を対称の値からどちら向きに変化させても偏角は大きくなり、偏角が最小になるのは、光が対称に進むとき(プリズムの中を底面に平行に進むとき)である。

光が対称に進むとき。プリズムの中を底面に平行に進み、入射角・出射角はともに 45°、偏角は最小の 30° になる

④ 最小の偏角と屈折率。 $D_{min} = 3 0^{\circ}$ を代入すると、次のようになる。

$\frac{sin \frac{6 0 ^{\circ} + 3 0 ^{\circ}}{2}}{sin \frac{6 0 ^{\circ}}{2}} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 /2}{1/2} = 2$

$n = 2$ と一致する。この式は、対称に進むとき $i_{1} = \frac{A + D _{min}}{2}$ 、 $r_{1} = \frac{A}{2}$ となることから導ける。

⑤ 色による違い。 ガラスの屈折率は光の色によってわずかに異なり、紫の光のほうが赤の光より大きい。屈折率が大きいほど、2つの側面で光が大きく曲がるので、偏角も大きくなる。そのため白色光は色ごとに分離する(分散)。

まとめ プリズムの偏角は $D = i_{1} + i_{2} - A$ で、光が対称に進むときに最小になる。最小の偏角を測定すれば、 $n = \frac{sin \frac{A + D _{min}}{2}}{sin \frac{A}{2}}$ から屈折率が求まる。

発展。 最小の偏角では、入射角が少し変化しても偏角はほとんど変化しないので、偏角を正確に測定しやすい。分光器でプリズムの屈折率を測定するときは、この性質を用いて最小の偏角を測定する。

答

(1) 2つの側面の法線のなす角は $18 0^{\circ} - A$ で、プリズムの中の光線と2本の法線がつくる三角形の内角の和から $r_{1} + r_{2} + (18 0^{\circ} - A) = 18 0^{\circ}$ 、すなわち $r_{1} + r_{2} = A$ (2) $i_{1} = 4 5^{\circ}$ 、 $D = 3 0^{\circ}$ (3) $6 0^{\circ}$ の入射では偏角が大きいので、対称に進むとき(光がプリズムの中を底面に平行に進むとき)に最小になる (4) $\frac{sin 4 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 /2}{1/2} = 2$ で、満たしている (5) 紫の光に対する屈折率のほうが大きく、2つの側面での屈折角の変化が大きいから

別解

別解:光の逆進性から、最小が対称の位置にあることを導く。 光の道すじは逆向きにたどることができるので、入射角 $i_{1}$ で入射して出射角 $i_{2}$ で出射する光と、入射角 $i_{2}$ で入射して出射角 $i_{1}$ で出射する光の偏角は等しい。

もし偏角が最小になる入射角が $i_{1} \neq = i_{2}$ だったとすると、逆向きの入射角 $i_{2}$ でも同じ最小の偏角になり、最小になる入射角が2つ存在することになる。入射角を変化させたときの偏角は1つの最小しかもたない(偏角は最小の点の両側で増加する)ので、最小は $i_{1} = i_{2}$ 、すなわち対称に進むときである。

ポイント

プリズムの中では $r_{1} + r_{2} = A$ 。偏角は2つの面での曲がりの和 $D = i_{1} + i_{2} - A$
偏角が最小になるのは、光が対称に進むとき( $r_{1} = r_{2} = \frac{A}{2}$ )
屈折率は色によって異なり、紫のほうが大きいので大きく曲がる(分散)

よくある間違い

偏角を入射面での曲がり $i_{1} - r_{1}$ だけとする。出射面でも同じ向きに曲がるので、両方の和である
$r_{1} + r_{2} = A$ の代わりに $r_{1} + r_{2} = 18 0^{\circ} - A$ とする。 $18 0^{\circ} - A$ は2本の法線のなす角である
入射角が大きいほど偏角が大きいと考えて、入射角 $0$ に近いほど偏角が小さいとする。偏角は対称に進む入射角で最小になり、その両側で増加する