油膜の色は観察する角度で変化する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 薄膜の干渉では、膜の中を往復する光路差と、反射による位相のずれの両方で強め合いの条件が定まる。反射で位相が $\pi$ ずれるのは、光が屈折率の小さい物質の側から、大きい物質との境界で反射する場合である。

この膜では、空気・油・水の屈折率は $1$、$1.40$、$1.33$ で油が最も大きいので、上面と下面で条件が異なる。また、斜めから観察すると、膜の中を斜めに進む光の光路差は $\cos \theta$ 倍になるので、強め合う波長が変化する。

① 位相のずれ。 上面では、空気(屈折率 $1$)から油($1.40$)への境界で反射するので、位相が $\pi$ ずれる。下面では、油($1.40$)から屈折率の小さい水($1.33$)への境界で反射するので、位相はずれない。位相のずれは上面だけである。

② 真上から観察するとき。 光路差は $2nd=2\times 1.40\times 300=840\mathrm{nm}$ である。位相のずれが一方だけなので、強め合う条件は次のとおりである。

$$2nd=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda (m=0,1,2,\dots )$$

$\lambda =\frac{840}{m+\frac{1}{2}}$ は、$m=0,1,2$ で $1680$、$560$、$336\mathrm{nm}$ である。可視光は $560\mathrm{nm}$ だけである。

③ 斜め $45^{\circ }$ から観察するとき。 光路差は次のようになる。

$$2nd\cos \theta =840\times 0.863\fallingdotseq 725\mathrm{nm}$$

強め合う波長は $\frac{725}{m+\frac{1}{2}}$ で、$m=0,1,2$ で $1450$、$483$、$290\mathrm{nm}$ である。可視光は約 $483\mathrm{nm}$ だけである。

④ 色の変化。 斜めから観察するほど $\cos \theta$ が小さくなり、光路差が短くなるので、強め合う波長も短くなる。真上から観察したときの $560\mathrm{nm}$(黄緑)から、斜め $45^{\circ }$ では $483\mathrm{nm}$(青)に近づき、膜の色は青の側へ変化する。

まとめ 薄膜の色は光路差と反射による位相のずれで定まる。斜めから観察すると光路差が $\cos \theta$ 倍に短くなるので、同じ膜でも強め合う波長が短くなり、色が変化する。

発展。 シャボン玉や水面の油膜の色が観察する位置によって虹のように変化するのは、膜の厚さの違いに加えて、観察する角度による光路差の違いがあるからである。

別解

別解:光路差が $2nd\cos \theta$ になることを、波面から導く。 入射光が膜の上面の点 A で一部反射し、それ以外は屈折して下面の点 B で反射し、上面の点 C から出射するとする。C から出射する光と、C で上面に入射して直接反射する光を比較する。

膜の中の経路 A→B→C の長さは $\frac{2d}{\cos \theta }$ で、光路長はその $n$ 倍である。一方、上面で直接反射する光は、膜の外を余分に $\mathrm{AC}\sin i$ だけ進む($i$ は入射角)。$\mathrm{AC}=2d\tan \theta$ と屈折の法則 $\sin i=n\sin \theta$ を用いると、光路差は次のとおりである。

$$\frac{2nd}{\cos \theta }-2d\tan \theta \times n\sin \theta =\frac{2nd(1-{\sin }^2\theta )}{\cos \theta }=2nd\cos \theta$$

膜の中を斜めに進むと経路は長くなるが、外を進む分の差し引きで、光路差は真上のときより短くなる。