回折格子でナトリウムの2本の明線を分離する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 回折格子では、隣り合うスリットからの光の経路差が波長の整数倍になる方向に明線ができる。波長がわずかに異なる2つの光は、同じ次数の明線がわずかにずれた位置にできる。

そのずれは次数に比例して大きくなるので、低い次数では重なって観測される2本も、高い次数では分離して観測される。ずれが明線の幅をこえる次数を求めればよい。

① 第1次の明線の位置。 第 $m$ 次の明線は $d\sin \theta =m\lambda$ を満たす方向にできる。小さい角では $x=L\tan \theta \fallingdotseq L\sin \theta$ なので、次のようになる。

$$x=\frac{mL\lambda }{d}=\frac{1\times 2.0\times 589.0\times 10^{-9}}{1.0\times 10^{-5}}\fallingdotseq 0.118\mathrm{m}$$

② 2本の間隔。 波長の差は $\Delta \lambda =0.6\mathrm{nm}$ である。①の式で $\lambda$ だけが異なるので、間隔は次のとおりである。

$$\Delta x=\frac{mL\Delta \lambda }{d}=\frac{m\times 2.0\times 0.6\times 10^{-9}}{1.0\times 10^{-5}}=m\times 1.2\times 10^{-4}\mathrm{m}=m\times 0.12\mathrm{mm}$$

③ 2本に分離して観測される次数。 間隔が明線の幅 $0.30\mathrm{mm}$ をこえる条件は、$m\times 0.12>0.30$ から $m>2.5$ である。2本に分離して観測される最小の次数は $3$ 次で、間隔は $0.36\mathrm{mm}$ である。

④ 最大の次数。 $\sin \theta =\frac{m\lambda }{d}\le 1$ より、次のようになる。

$$m\le \frac{d}{\lambda }=\frac{1.0\times 10^{-5}}{589.6\times 10^{-9}}\fallingdotseq 17.0$$

$\frac{d}{\lambda }$ は $17$ よりわずかに小さい($16.96$)ので、観測できる最大の次数は $16$ 次である。ただし、この次数では回折角が大きく、①〜③の近似は成り立たない。

⑤ 次数と格子定数の効果。 第 $m$ 次の明線の方向では、隣り合うスリットからの経路差が $m\lambda$ である。波長が $\Delta \lambda$ 異なると、同じ方向での経路差のずれは $m\Delta \lambda$ になり、次数が大きいほどずれが拡大される。そのため明線の位置の差も $m$ に比例する。

格子定数 $d$ を小さくすると、②の式の分母が小さくなり、同じ次数でも間隔が広くなる。格子の目を細かくするほど、波長のわずかな違いを分離しやすい。

まとめ 回折格子で波長の近い2つの光を分離するには、次数を大きくするか、格子定数を小さくする。間隔は $\frac{mL\Delta \lambda }{d}$ で、次数と格子定数の両方で定まる。

発展。 実際には、回折角が大きくなると $\tan \theta$ が $\sin \theta$ より大きくなる分、スクリーン上の間隔は近似値よりさらに大きくなる。第3次では、近似しないで計算すると約 $0.38\mathrm{mm}$ で、近似値の $0.36\mathrm{mm}$ よりわずかに大きい。

別解

別解:回折角の差で考える。 第 $m$ 次で、2つの波長の回折角の正弦の差は $\Delta (\sin \theta )=\frac{m\Delta \lambda }{d}=m\times 6\times 10^{-5}$ である。小さい角では、角の差がこの値にほぼ等しい($\mathrm{rad}$ 単位)。

スクリーンまでの距離 $2.0\mathrm{m}$ をかけると、間隔は $m\times 1.2\times 10^{-4}\mathrm{m}$ で、②と一致する。明線の幅 $0.30\mathrm{mm}$ は、角にすると $1.5\times 10^{-4}\mathrm{rad}$ にあたる。角の差がこれをこえる条件 $m\times 6\times 10^{-5}>1.5\times 10^{-4}$ から $m>2.5$ となり、③と同じ $3$ 次が得られる。