物理 / 光

光源をずらしたヤングの実験と縞が消失する条件

★★★★ 難関ヤングの実験経路差光源の幅

問題

光源のスリット S、2つのスリット $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、スクリーンを平行に配置したヤングの実験を考える。 $S_{1}$ と $S_{2}$ の間隔は $d = 0.50 mm$ 、S から $S_{1} S_{2}$ までの距離は $l = 0.50 m$ 、 $S_{1} S_{2}$ からスクリーンまでの距離は $L = 1.0 m$ 、光の波長は $λ = 600 nm$ である。 $l$ 、 $L$ は $d$ や縞の位置より十分大きい。

光源のスリット S、2つのスリット S₁・S₂、スクリーン(距離は実際の比ではない)

(1) S が $S_{1}$ と $S_{2}$ から等距離にあるとき、スクリーン上の明線の間隔を求めよ。

(2) S をスリットに平行な向きに $s = 0.10 mm$ だけ $S_{1}$ 側へ移動する。S から $S_{1}$ 、 $S_{2}$ までの距離の差を求めよ。また、スクリーン上の縞はどちら向きにどれだけ移動するか。

(3) S の位置に、互いに無関係に光を発する2つの光源を、スリットに平行な向きに間隔 $s$ だけ離して配置する。スクリーン上で縞の明暗が観測されなくなる最小の $s$ を求めよ。

(4) 光源のスリット S の幅を広くすると縞が観測しにくくなる理由を、(3)の結果から説明せよ。

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中央の明線は、全体の経路差が $0$ になる位置にできる。S を移動すると、スリットの手前で経路差がいくら生じるか。互いに無関係な光源どうしは干渉しないので、スクリーン上では何が加算されるか。

解答・解説

方針

光源から2つのスリットまでの距離の差と、スリットからスクリーンまでの距離の差を合計した経路差で、明暗が定まる。光源がずれると、スリットの手前で経路差が生じるので、それを打ち消す位置へ縞全体が移動する。互いに無関係な2つの光源による縞は強さが加算されるだけなので、縞が半周期ずれると明暗が消失する。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) スクリーン上の点の明暗は、S から $S_{1}$ を通る経路と $S_{2}$ を通る経路の、全体の長さの差で定まる。全体の経路差はスリットの手前の部分と後ろの部分の和である。

S を移動すると、スリットの手前で経路差が生じる。中央の明線は全体の経路差が $0$ の位置にできるので、手前の差を打ち消す位置へ移動する。また、互いに無関係に光を発する光源どうしは干渉せず、それぞれの縞の強さが加算されるだけである。

① 明線の間隔。

$Δ x = \frac{λ L}{d} = \frac{600 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.0}{0.50 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.2 \times 1 0^{- 3} m = 1.2 mm$

② 光源を移動したとき。 スクリーン上の位置 $x$ での経路差が $\frac{x d}{L}$ で表されるのと同じ理由で、S を $s$ だけ移動したときの、S から2つのスリットまでの距離の差は次のとおりである。

$\frac{s d}{l} = \frac{0.10 \times 1 0 ^{- 3} \times 0.50 \times 1 0 ^{- 3}}{0.50} = 1.0 \times 1 0^{- 7} m$

S は $S_{1}$ 側へ移動したので、 $S_{1}$ までのほうが短い。スクリーン上で全体の経路差が $0$ になるには、後ろの部分で $S_{1}$ を通る経路のほうが $\frac{s d}{l}$ だけ長くなる必要がある。その位置は、中央から $S_{2}$ 側に $x$ だけ離れた次の点である。

$\frac{x d}{L} = \frac{s d}{l} ⟹ x = \frac{L}{l} s = \frac{1.0}{0.50} \times 0.10 mm = 0.20 mm$

縞全体が $S_{2}$ 側(光源を移動した向きと反対)へ $0.20 mm$ 移動する。明線の間隔は変化しない。

公式ヤングの実験の経路差

\frac{x d}{L}

。光源を

s

移動すると、縞は反対向きに

\frac{L}{l} s

移動する

③ 縞が観測されなくなる条件。 2つの光源は互いに無関係なので干渉せず、スクリーン上ではそれぞれの縞の明るさが加算される。2つの縞は互いに $\frac{L}{l} s$ ずれている。ずれが明線の間隔の半分になると、一方の明線に他方の暗線が重なり、明るさが均一になって縞が消失する。

$\frac{L}{l} s = \frac{Δ x}{2} = 0.60 mm ⟹ s = 0.50 \times 0.60 mm = 0.30 mm$

スクリーン上の位置 x [mm] と明るさ。2つの光源の縞(実線と破線)が 0.60 mm ずれると、明るさの和は位置によらず一定になる

④ スリットの幅と縞の観測しやすさ。 幅のあるスリットは、互いに無関係に光を発する多数の点光源が、幅の範囲に並んだものとみなせる。各点光源の縞は位置が少しずつずれていて、スクリーン上ではそれらの明るさが加算される。

幅が $0.30 mm$ 程度以上になると、ずれの範囲が明線の間隔の半分をこえ、明線と暗線が平均されて縞が観測されなくなる。ヤングの実験で光源の前に細いスリットを配置するのは、このためである。

まとめ 明暗は光源からスクリーンまでの全体の経路差で定まる。光源をずらすと縞は反対向きに移動し、互いに無関係な光源の縞は明るさが加算されるだけなので、半周期ずれると縞が消失する。

発展。 スリットの手前の経路差は、光源が遠いほど小さくなる。遠くの星のように見かけの大きさが小さい光源ほど、離れた2点の光が干渉できる。この関係を逆に用いると、2つの穴の間隔を変化させ、縞が消失するときの間隔から星の見かけの大きさを測定できる。

答

(1) $1.2 mm$ (2) 距離の差は $\frac{s d}{l} = 1.0 \times 1 0^{- 7} m$ ( $S_{1}$ のほうが近い)。縞は $S_{2}$ 側へ $\frac{L}{l} s = 0.20 mm$ 移動する (3) $0.30 mm$ (4) 幅の広いスリットは、互いに無関係な多数の光源が並んだものとみなせる。幅が $0.30 mm$ 程度以上になると、各光源による縞が互いにずれて重なり、明線と暗線が平均されて縞が観測されなくなる

別解

別解:2つの光源の縞を正弦波として加算する。 点光源1つによる縞の明るさは、明線の間隔 $Δ x$ を周期とする $cos^{2}$ の形 $I_{1} = I_{0} cos^{2} \frac{π x}{Δ x}$ で表せる。もう1つの光源の縞が $\frac{Δ x}{2}$ ずれているとすると、次のようになる。

$I_{2} = I_{0} cos^{2} \frac{π ( x - Δ x /2 )}{Δ x} = I_{0} sin^{2} \frac{π x}{Δ x}$

和は $I_{1} + I_{2} = I_{0} (cos^{2} + sin^{2}) = I_{0}$ で、位置 $x$ によらず一定になる。縞が完全に消失するのは、ずれがちょうど半周期 $\frac{Δ x}{2} = 0.60 mm$ のときで、③と一致する。

ポイント

明暗は光源からスクリーンまでの全体の経路差で定まる
光源を $s$ 移動すると、縞は反対向きに $\frac{L}{l} s$ 移動する。間隔は変化しない
無関係な光源の縞は明るさが加算されるだけ。半周期ずれると縞が消失する

よくある間違い

光源を移動すると縞も同じ向きに移動すると考える。手前で $S_{1}$ までが短くなるので、それを打ち消す $S_{2}$ 側へ縞が移動する
縞の移動量を光源の移動量 $s$ と同じとする。距離の比 $\frac{L}{l}$ 倍になる
互いに無関係な2つの光源の光も干渉すると考える。位相の関係が一定でないので干渉せず、明るさが加算されるだけである