物理 / 波の伝わり方と音

崖に向かう船が発した音で速さと距離を求める

★★★★ 難関ドップラー効果反射うなり

問題

まっすぐな崖に向かって、船が一定の速さ $u$ で進んでいる。船は振動数 $660 Hz$ の短い音を崖に向けて発し、崖で反射した音を、発してから $4.0 s$ 後に受けた。受けた反射音の振動数は $700 Hz$ であった。音速を $340 m/s$ とし、風はないものとする。

崖に向かって速さ u で進む船が、660 Hz の短い音を崖に向けて発する

(1) 崖が受ける音の振動数を、 $u$ を用いて表せ。

(2) 船が受ける反射音の振動数を $u$ で表し、 $u$ を求めよ。

(3) 音を発したときの、船と崖の距離を求めよ。

(4) 反射音を受けたときの、船と崖の距離を求めよ。また、船がそのまま進むと、反射音を受けてから何秒後に崖に到達するか。

(5) 船の上で $660 Hz$ の警笛を鳴らしながら崖からの反射音を聞くと、1秒あたり何回のうなりが聞こえるか。

ヒントを見る

崖は、まず観測者として、次に音源として扱う。それぞれの段階で、移動しているのは音源と観測者のどちらか。音が往復する間に、船はどれだけ崖に近づくか。

解答・解説

方針

反射は2段階に分割して考える。崖は静止した観測者として、近づく音源(船)からの音を受ける。次に崖は静止した音源として、受けた振動数の音を発し、近づく観測者(船)がそれを受ける。振動数の比から速さが求まり、往復の時間からは、音を発したときの距離が求まる。往復の間に船も進むことに注意する。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 反射を含むドップラー効果は、反射面をいったん観測者、次に音源とみなして2段階で計算する。崖は静止しているので、1段階目は「音源が近づく」、2段階目は「観測者が近づく」場合である。

一方、往復の時間は、音が進んだ距離から求める。音が崖まで往復する間に船も崖へ近づくので、往復の距離は「発したときの距離の2倍」ではない。

① 崖が受ける振動数。 崖は静止した観測者で、音源の船が速さ $u$ で近づくので、次のとおりである。

$f_{1} = 660 \times \frac{340}{340 - u}$

② 船が受ける振動数と速さ。 崖は静止した音源として振動数 $f_{1}$ の音を発し、観測者の船が速さ $u$ で近づくので、次のようになる。

$f_{2} = f_{1} \times \frac{340 + u}{340} = 660 \times \frac{340 + u}{340 - u}$

$f_{2} = 700 Hz$ から、 $\frac{340 + u}{340 - u} = \frac{35}{33}$ である。 $33 (340 + u) = 35 (340 - u)$ を解くと、 $68 u = 680$ で $u = 10 m/s$ である。

公式音源が近づくとき

f^{'} = f \frac{V}{V - u}

、観測者が近づくとき

f^{'} = f \frac{V + u}{V}

③ 音を発したときの距離。 発したときの距離を $D$ とする。音は崖まで $D$ 進み、帰りは、その間に $4.0 \times 10 = 40 m$ 近づいた船まで $D - 40$ 進む。音が進んだ距離の合計は $340 \times 4.0 = 1360 m$ なので、次の式が成り立つ。

$D + (D - 40) = 1360 ⟹ D = 700 m$

音の往復。行き 700 m と帰り 660 m の合計 1360 m を 4.0 s で進む。帰りが短いのは、その間に船が 40 m 進むからである

④ 受けたときの距離と到達の時刻。 受けたときの距離は $700 - 40 = 660 m$ である。速さ $10 m/s$ で進むと、崖に到達するのは $\frac{660}{10} = 66$ 秒後である。

⑤ うなり。 船の上では、警笛の $660 Hz$ と反射音の $700 Hz$ を同時に聞くので、うなりは毎秒 $700 - 660 = 40$ 回である。

まとめ 反射のドップラー効果は、反射面を観測者と音源の2段階で考える。振動数の比からは速さ、往復の時間からは距離が求まり、往復の間に船が進む分を含めて式を立てる。

発展。 往復の時間と反射音の振動数を測定すれば、目標物までの距離と、目標物に対する速さを同時に求めることができる。船の速さが既知であれば、反射音の振動数から、反射した物体自身の速さも求められる。

答

(1) $660 \times \frac{340}{340 - u} Hz$ (2) $660 \times \frac{340 + u}{340 - u} Hz$ 、 $u = 10 m/s$ (3) $700 m$ (4) $660 m$ 、 $66$ 秒後 (5) $40$ 回

別解

別解:船とともに移動する立場で、行きと帰りの時間を求める。 船を基準にすると、崖は速さ $10 m/s$ で近づいてくる。船に対する音の速さは、行きが $340 - 10 = 330 m/s$ 、帰りが $340 + 10 = 350 m/s$ である。

行きでは、音と崖が $330 + 10 = 340 m/s$ で互いに近づくので、反射までの時間は $t_{1} = \frac{D}{340}$ である。その間に崖は $10 t_{1}$ 近づくので、反射した時点の船と崖の距離は $D - 10 t_{1} = \frac{330}{340} D$ で、帰りの時間はこれを $350 m/s$ で割った値である。往復の時間の合計について、次の式が成り立つ。

$\frac{D}{340} + \frac{330 D}{340 \times 350} = \frac{D}{340} \times \frac{680}{350} = 4.0 ⟹ D = \frac{4.0 \times 340 \times 350}{680} = 700 m$

③と一致する。行き( $\frac{700}{340} ≒ 2.06 s$ )より帰り( $≒ 1.94 s$ )のほうが短いのは、帰りの音に船が向かっていくからである。

ポイント

反射面は、まず観測者、次に音源として2段階で考える
近づく船と静止した崖の往復では $f^{'} = f \frac{V + u}{V - u}$ 。振動数の比から速さが求まる
往復の距離は、発したときの距離の2倍から、往復の間に船が進んだ距離を引いたもの

よくある間違い

往復の距離を $2 D$ として $D = 680 m$ とする。反射音が到達するまでに船は $40 m$ 近づいているので、 $2 D - 40 = 1360$ である
崖が受けた振動数をそのまま船が受けると考える。崖を音源とみなした2段階目で、近づく観測者の効果が加わる
2段階とも同じ式 $f \frac{V}{V - u}$ を用いる。1段階目は音源が、2段階目は観測者が移動している