媒質の速さは波の速さより大きくなることがある

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 波の速さ $V$ は「波形が移動する速さ」で、媒質の各点の速さとは別の量である。媒質の各点はその場で単振動をしているので、その速さの最大値は振幅と周期で定まる。

2つの速さの比を計算すると、振幅と波長の比だけで表される。振幅が波長に対して大きければ、媒質のほうが速く振動することもありうる。

① 周期。

$$T=\frac{\lambda }{V}=\frac{0.40}{2.0}=0.20\mathrm{s}$$

② 媒質の速さの最大値。 媒質の各点は振幅 $A$、角振動数 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ の単振動をするので、速さの最大値は次のとおりである。

$$v_{\text{max}}=A\omega =\frac{2\pi A}{T}=\frac{2\pi \times 0.10}{0.20}=\pi \fallingdotseq 3.1m/s$$

波の速さ $2.0m/s$ より大きく、約 $1.6$ 倍である。比は次のように振幅と波長だけで表される。

$$\frac{v_{\text{max}}}{V}=\frac{2\pi A/T}{\lambda /T}=\frac{2\pi A}{\lambda }=\frac{\pi }{2}\fallingdotseq 1.6$$

③ 媒質の速度と波形の傾き。 波形は $\Delta t$ の間に $V\Delta t$ だけ正の向きに移動するので、時刻 $t+\Delta t$ に点 $x$ にある変位は、時刻 $t$ に点 $x-V\Delta t$ にあった変位である。$\Delta t$ が短ければ、$y$-$x$ グラフの接線で近似できるので、その変位は次のようになる。

$$y(x-V\Delta t,t)\fallingdotseq y(x,t)-k\times V\Delta t$$

点 $x$ の変位は $\Delta t$ の間に $-kV\Delta t$ だけ変化するので、媒質の速度は $-Vk$ である。

傾きが最も大きいのは $y=0$ の点で、正弦波の傾きの最大値は $\frac{2\pi A}{\lambda }$ である。媒質の速さの最大値は $V\times \frac{2\pi A}{\lambda }$ で、②と一致する。

④ 媒質のほうが速くなる条件。 $\frac{v_{\text{max}}}{V}=\frac{2\pi A}{\lambda }>1$ なので、条件は $A>\frac{\lambda }{2\pi }$ である。この問題では $\frac{\lambda }{2\pi }\fallingdotseq 0.064\mathrm{m}$ で、振幅 $0.10\mathrm{m}$ はこれより大きい。

⑤ 音波の場合。 音波は縦波で、媒質の変位は波の進む向きであるが、媒質の速さの最大値が $V\times \frac{2\pi A}{\lambda }$ になる関係は同じである。ふつうの音では、空気の変位の振幅は波長に対してはるかに小さく、$\frac{2\pi A}{\lambda }$ は $1$ よりはるかに小さい。そのため、空気の振動の速さは音速よりはるかに小さい。

まとめ 波の速さと媒質の速さは別の量で、比は $\frac{2\pi A}{\lambda }$ である。波形の傾きが大きい(振幅に対して波長が短い)波ほど、媒質は速く振動する。

発展。 媒質の速度が波形の傾きに比例するという③の関係は、パルスのような正弦波でない波にも成り立つ。移動する波形の前側(傾きが正の部分)の媒質は下向きに、後ろ側(傾きが負の部分)の媒質は上向きに運動している。

別解

別解:変位の式を時間で微分する。 $y=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$ を $t$ で微分すると、媒質の速度は次のとおりである。

$$v_y=\frac{2\pi A}{T}\cos 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$$

一方、$x$ で微分した傾きは $k=-\frac{2\pi A}{\lambda }\cos 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$ である。比較すると $v_y=-\frac{\lambda }{T}k=-Vk$ で、③と一致する。速度の振幅 $\frac{2\pi A}{T}=\pi m/s$ から、②の最大値も同時に得られる。