浅いところから深いところへ進む水面波の全反射

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 屈折の法則は、波の速さの比で入射角と屈折角の正弦の比を与える。波が遅い領域から速い領域へ進むと、屈折角は入射角より大きくなる。

入射角を大きくしていくと、屈折角が先に $90^{\circ }$ に達する。それ以上の入射角では、屈折角の正弦が $1$ をこえる計算になり、屈折波は存在できない。光の全反射と同じ現象が水面波でも発生する。

① 波長。 振動数は境界の両側で等しいので、波長は速さに比例する。

$${\lambda }_{\text{浅}}=\frac{0.30}{2.0}=0.15\mathrm{m},{\lambda }_{\text{深}}=\frac{0.50}{2.0}=0.25\mathrm{m}$$

② 入射角 $30^{\circ }$ のとき。 屈折の法則より、次のようになる。

$$\frac{\sin 30^{\circ }}{\sin {\theta }_2}=\frac{0.30}{0.50}⟹\sin {\theta }_2=\frac{0.50}{0.30}\times \frac{1}{2}=\frac{5}{6}\fallingdotseq 0.83$$

${\theta }_2\fallingdotseq 56^{\circ }$ で、屈折角は入射角より大きい。

③ 臨界角。 屈折角が $90^{\circ }$ になる入射角が臨界角である。

$$\frac{\sin {\theta }_c}{\sin 90^{\circ }}=\frac{0.30}{0.50}⟹\sin {\theta }_c=0.60$$

${\theta }_c\fallingdotseq 37^{\circ }$ である。

④ 入射角 $45^{\circ }$ のとき。 屈折の法則で計算すると $\sin {\theta }_2=\frac{0.50}{0.30}\times 0.71\fallingdotseq 1.18$ となり、$1$ をこえる。このような屈折角は存在しないので、屈折波は生じず、波はすべて境界で反射する(全反射)。

⑤ 逆向きに進むとき。 深い領域から浅い領域へ進むときは、$\sin {\theta }_2=\frac{0.30}{0.50}\sin {\theta }_1=0.60\sin {\theta }_1$ で、どの入射角でも $1$ より小さい。屈折角は入射角より小さく、必ず屈折波が存在するので、全反射は発生しない。全反射が発生するのは、速い領域へ向かう場合だけである。

まとめ 波が遅い領域から速い領域へ進むときは、入射角が臨界角 $\sin {\theta }_c=\frac{v_{\text{遅}}}{v_{\text{速}}}$ をこえると全反射する。光でも水面波でも、屈折の法則が同じ形なので、同じ現象が発生する。

発展。 深いところから岸へ向かう波は、浅くなるにつれて遅くなり、法線に近づく向きに曲がる。そのため、沖では斜めに進んでいた波も、岸の近くでは波面が海岸線とほぼ平行になって打ち寄せる。

別解

別解:境界に沿って進む波面の交点の速さで考える(ホイヘンスの原理)。 入射する波面と境界の交点は、境界に沿って $\frac{v_{\text{浅}}}{\sin {\theta }_1}$ の速さで進む。屈折波の波面も境界上で同じ交点を通るので、屈折波について $\frac{v_{\text{深}}}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_{\text{浅}}}{\sin {\theta }_1}$ が成り立つ。これが屈折の法則である。

屈折波が存在するには、深い領域の波面が交点に追いつけないこと、すなわち交点の速さが深い領域の波の速さ以上であることが必要である。

$$\frac{v_{\text{浅}}}{\sin {\theta }_1}\ge v_{\text{深}}⟹\sin {\theta }_1\le \frac{0.30}{0.50}=0.60$$

入射角が大きくなると交点の進む速さは遅くなり、$\sin {\theta }_1>0.60$ では深い領域の波のほうが速すぎて、屈折波の波面をつくれない。これが全反射の条件で、③と一致する。