壁の前で音の大きさを測定すると

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 音は縦波で、定常波には「空気の変位」の節・腹と、「圧力の変化」の節・腹の2通りの表し方がある。壁の表面で空気は変位できないので、壁は変位の節である。

ところが、マイクロホンが検出するのは圧力の変化である。変位の節では両側の空気が逆向きに変位するので、空気が最も圧縮されたり膨張したりする。つまり、変位の節は圧力の変化の腹になる。この入れ替わりに注意して、音が小さい位置を求める。

① 変位の節。 波長は $\lambda =\frac{340}{850}=0.40\mathrm{m}$ である。壁の表面が変位の節で、節は半波長 $0.20\mathrm{m}$ ごとに $0$、$0.20$、$0.40\mathrm{m}$ と並び、変位の腹はその中間の $0.10$、$0.30\mathrm{m}$ にある。

② 圧力の変化が大きい位置。 変位の定常波では、節をはさんだ両側の空気は常に逆向きに変位する。両側の空気が同時に節へ近づく瞬間には節の位置で空気が最も圧縮され、同時に遠ざかる瞬間には最も膨張する。したがって、圧力の変化が最も大きいのは変位の節である。

変位の腹では、両側の空気が同じ向きに一様に変位するので、空気の密度はほとんど変化せず、圧力の変化は $0$ である。

③ マイクロホンで測定した音の大きさ。 音が最も小さいのは圧力の変化の節、すなわち変位の腹で、壁から $0.10\mathrm{m}$、$0.30\mathrm{m}$ の位置である。音が最も大きいのは変位の節で、壁の表面($0$)と $0.20\mathrm{m}$ の位置である。

④ 音速の測定。 音が最も小さい隣り合う位置は、圧力の変化の節が並ぶ間隔で、半波長にあたる。間隔 $0.20\mathrm{m}$ から波長は $0.40\mathrm{m}$ で、振動数をかけると音速が求められる。

$$V=f\lambda =850\times 0.40=340m/s$$

⑤ クントの実験。 粉は変位の節に集中するので、壁から $0$ と $0.20\mathrm{m}$ の位置である。変位の腹では空気が激しく往復して粉を移動させ、変位しない節に粉が集中する。

この位置は、マイクロホンで音が最も大きく聞こえる位置と一致する。「粉が集中する静かそうな位置」が、圧力で表すと最も音が大きい位置である。

まとめ 音の定常波は、変位で表すか圧力で表すかで、節と腹の位置が入れ替わる。硬い壁の表面は変位の節で、圧力の変化の腹である。マイクロホンは圧力を、粉は変位を表すので、同じ定常波でも結果が逆に観測される。

発展。 閉管の気柱の共鳴でも、閉じた端は変位の節(圧力の腹)、開いた端は変位の腹(圧力の節)である。開いた端の外側は大気に接していて、圧力が大気圧からほとんど変化できないからである。

別解

別解:変位の式から圧力の変化を求める。 壁を原点とし、壁から遠ざかる向きを正とする。壁が変位の節なので、変位の定常波は $y=2a\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\cos 2\pi ft$ と表せる。

空気の圧縮の度合いは、隣り合う空気の変位の差、つまり $y$ の $x$ に対する変化の割合で表される。$\sin \frac{2\pi x}{\lambda }$ の変化の割合は $\cos \frac{2\pi x}{\lambda }$ に比例するので、圧力の変化の振幅は $\left|\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\right|$ に比例する。

これは $x=0$、$0.20\mathrm{m}$ で最大、$x=0.10$、$0.30\mathrm{m}$ で $0$ となり、③と一致する。変位の振幅 $\left|\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\right|$ とは $\frac{\lambda }{4}$ ずれていて、節と腹がちょうど入れ替わっている。