メルデの実験: おもりの質量と腹の数

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) この実験では、糸の振動数はおんさで定まっていて、変化させるのはおもりの重さ(糸の張力)だけである。張力が変化すると波の速さが変化し、同じ振動数でも波長が変化する。

両端が節の定常波は、長さ $L$ に半波長がちょうど整数個並ぶときにできる。そこで「腹の数→波長→速さ→張力→質量」の順に求める。

① 腹が2個のとき。 長さ $1.0\mathrm{m}$ に半波長が2個並ぶので、波長は $1.0\mathrm{m}$ である。速さは $v=f\lambda =50\times 1.0=50m/s$ で、張力は次のとおりである。

$$S=\rho v^2=4.9\times 10^{-4}\times 50^2=1.225\mathrm{N}$$

おもりの重さが張力に等しいので、$M=\frac{1.225}{9.8}=0.125\mathrm{kg}$ である。

② 腹が $n$ 個のとき。 波長は $\lambda =\frac{2L}{n}$、速さは $v=\frac{2Lf}{n}$ である。張力 $Mg=\rho v^2$ から次の式が得られる。

$$M=\frac{\rho }{g}{\left(\frac{2Lf}{n}\right)}^2=\frac{4.9\times 10^{-4}\times 100^2}{9.8n^2}=\frac{0.50}{n^2}\mathrm{kg}$$

おもりを軽くすると、波の速さが小さくなって波長が短くなり、長さ $L$ に並ぶ半波長の数、すなわち腹の数が増加する。

③ 質量の比。 $M$ は $n^2$ に反比例するので、腹が1個と3個の質量の比は $\frac{1}{1^2}:\frac{1}{3^2}=9:1$ である。具体的には $0.50\mathrm{kg}$ と約 $0.056\mathrm{kg}$ である。

④ 縦振りのとき。 糸の振動数は $25\mathrm{Hz}$ になる。おもりが $0.125\mathrm{kg}$ なら張力は①と同じで、速さは $50m/s$ である。波長は次のとおりである。

$$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{50}{25}=2.0\mathrm{m}$$

長さ $1.0\mathrm{m}$ は半波長1個分なので、腹は $1$ 個である。同じおもりでも、横振りの $2$ 個から半分になる。

まとめ メルデの実験では、振動数はおんさで、速さはおもりで定まり、その比で波長と腹の数が定まる。腹の数は質量の平方根に反比例し、質量は腹の数の2乗に反比例する。

発展。 ②の式を変形すると $f=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{Mg}{\rho }}$ で、腹の数とおもりの質量を測定すれば、おんさの振動数や糸の線密度を求めることができる。

別解

別解:比例関係だけで考える。 振動数が一定なので、波長は速さに比例し、速さは $\sqrt{M}$ に比例する。腹の数は $\frac{2L}{\lambda }$ なので、波長に反比例し、$\frac{1}{\sqrt{M}}$ に比例する。つまり $n^{2}M$ が一定である。

①で $n=2$ のとき $M=0.125\mathrm{kg}$ なので、$n^{2}M=0.50$ である。腹が1個なら $0.50\mathrm{kg}$、3個なら $\frac{0.50}{9}\fallingdotseq 0.056\mathrm{kg}$ と、張力や速さを計算しなくても求められる。縦振りでは振動数が半分になるので、同じ質量でも波長が2倍、腹の数は半分になる。