うなりの増減から振動数の大小を決定する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) うなりの回数は2つの振動数の差の絶対値なので、「3回」という情報だけでは、B が A より $3\mathrm{Hz}$ 高いのか低いのかは定まらない。

そこで、一方の振動数を少しだけ変化させて、うなりの回数がどう変化するかを考える。$440\mathrm{Hz}$ に近づく向きに変化すればうなりは減少し、遠ざかる向きなら増加する。変化の向きが既知なので、うなりの増減から元の側が決定できる。

① 候補。 うなりの回数は振動数の差なので、B の振動数は $440\pm 3$、すなわち $437\mathrm{Hz}$ または $443\mathrm{Hz}$ である。

② 粘土を付けたとき。 粘土で B の振動数は小さくなる。もとが $443\mathrm{Hz}$ なら、少し下がると $440\mathrm{Hz}$ に近づき、うなりは減少するはずである。実際にはうなりが $5$ 回に増加したので、もとは $437\mathrm{Hz}$ で、粘土を付けると $435\mathrm{Hz}$ になったと判断できる。

③ 弦の振動数。 うなりが $2$ 回なので、弦の基本振動数は $438\mathrm{Hz}$ または $442\mathrm{Hz}$ である。張力を大きくすると波の速さが増加し、基本振動数 $\frac{v}{2L}$ も大きくなる。

$442\mathrm{Hz}$ なら、振動数が上がると $440\mathrm{Hz}$ から遠ざかり、うなりは増加するはずである。うなりが $1$ 回に減少したので、もとは $438\mathrm{Hz}$ である。

④ 張力の調整。 基本振動数は波の速さに比例し、速さは張力の平方根に比例するので、振動数は $\sqrt{S}$ に比例する。$438\mathrm{Hz}$ を $440\mathrm{Hz}$ にするには、次の張力が必要である。

$$S^{\prime }=100\times {\left(\frac{440}{438}\right)}^2\fallingdotseq 100.92\mathrm{N}$$

張力を約 $0.92\mathrm{N}$ 大きくすればよい。振動数を $0.46\%$ 上げるのに、張力は約 $0.92\%$、つまり $2$ 倍の割合の変化が必要である。

⑤ うなりの回数の理由。 同じ振幅 $a$ の2つの音を重ねると、次のようになる。

$$a\sin 2\pi f_{1}t+a\sin 2\pi f_{2}t=2a\cos \{\pi (f_1-f_2)t\}\sin \{\pi (f_1+f_2)t\}$$

$\sin$ の部分は、平均の振動数 $\frac{f_1+f_2}{2}$ の速い振動である。その振幅 $\left|2a\cos \{\pi (f_1-f_2)t\}\right|$ はゆっくり大小をくり返し、絶対値をとった $\cos$ の周期は $\frac{1}{|f_1-f_2|}$ である。したがって、音の大小は毎秒 $|f_1-f_2|$ 回くり返す。

まとめ うなりの回数だけでは振動数の大小は判断できないが、一方の振動数を既知の向きに少し変化させ、うなりが増加するか減少するかを確認すれば決定できる。

発展。 楽器の調律では、基準の音と鳴らしてうなりを聞き、うなりが少なくなる向きに弦の張力を調節する。うなりが生じなくなったとき、2つの振動数は一致している。

別解

別解:うなりの回数を振動数のグラフで考える。 横軸に B の振動数 $f$、縦軸にうなりの回数 $|f-440|$ をとると、$440\mathrm{Hz}$ を頂点とする V 字形のグラフになる。うなりが $3$ 回の点は $437$ と $443$ の2つで、V 字の左右の斜面にある。

粘土を付けると、グラフ上の点は左へ移動する。右の斜面にある $443$ から左へ移動すると、うなりは減少する。左の斜面にある $437$ から左へ移動すると、うなりは増加する。うなりが $5$ 回に増加したので、点は左の斜面、すなわち $437\mathrm{Hz}$ にあった。弦の張力を大きくする操作は右への移動で、うなりが減少したことから左の斜面の $438\mathrm{Hz}$ と判断できる。