線路から離れて聞く警笛はいつ元の高さになるか

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 斜め方向のドップラー効果では、振動数は音を発した瞬間の速度の視線方向の成分で定まる。ところが音は有限の速さで進むので、観測者が「いま」聞いている音は、少し前に列車が別の位置で発した音である。

そこで、「音を発した位置」と「観測者が聞く時刻」を区別して考える。元の振動数の音は、列車が最も近い点で発した音で、そこから距離 $d$ を進むのに時間がかかる。

① 遠くにいるとき。 はるか遠くから近づくときは $\theta \fallingdotseq 0$、遠ざかるときは $\theta \fallingdotseq 180^{\circ }$ である。

$$f=\frac{340}{340-34}\times 594=\frac{594}{0.9}=660\mathrm{Hz},f=\frac{340}{340+34}\times 594=\frac{594}{1.1}=540\mathrm{Hz}$$

② 元の振動数が聞こえる時刻。 $f=f_0$ となるのは $\cos \theta =0$、すなわち列車が O に最も近い点で発した音である。その点から O までの距離は $d=170\mathrm{m}$ なので、音が到達するまでの時間は次のとおりである。

$$\frac{d}{V}=\frac{170}{340}=0.50\mathrm{s}$$

観測者が $594\mathrm{Hz}$ を聞くのは、列車が最も近い点を通過してから $0.50$ 秒後である。その間に列車は $34\times 0.50=17\mathrm{m}$ 進んでいる。

③ 最も近い点を通過する瞬間に聞く音。 その瞬間に O に到達している音は、$\tau$ 秒前に、最も近い点の手前 $u\tau$ の位置で発した音である。音が進んだ距離について、三平方の定理より次の式が成り立つ。

$$(V\tau {)}^2=d^2+(u\tau {)}^2$$

このとき、音を発した点での $\cos \theta$ は、手前の距離と音が進んだ距離の比である。

$$\cos \theta =\frac{u\tau }{V\tau }=\frac{u}{V}=0.10$$

$\tau$ の値によらず $\cos \theta =\frac{u}{V}$ になる。振動数は次のとおりである。

$$f=\frac{V}{V-u\times 0.10}{f}_0=\frac{594}{1-0.01}=600\mathrm{Hz}$$

④ 振動数の時間変化。 観測者が聞く振動数は、はじめ $660\mathrm{Hz}$ で、列車が近づくにつれて連続的に低下する。列車が最も近い点を通過する瞬間にはまだ $600\mathrm{Hz}$ で、元の $594\mathrm{Hz}$ になるのは $0.50$ 秒後である。そのあとも低下を継続し、遠ざかるにつれて $540\mathrm{Hz}$ に近づく。

まとめ 斜め方向のドップラー効果では、振動数は音を発した瞬間の位置と速度で定まり、観測者が聞くのはその音が到達したときである。線路から離れた観測者ほど、振動数の変化は時間的にゆるやかになり、元の振動数になる時刻も最接近より遅れる。

発展。 線路のすぐそばで聞くと、$d$ が小さいので元の振動数になる時刻の遅れはほとんどなく、振動数は最接近の前後で急に変化する。離れて聞くほど変化はゆるやかで、高い音から低い音へ連続的に変化する。救急車のサイレンが「急に低くなる」ように聞こえるか「だんだん低くなる」ように聞こえるかは、道路からの距離で異なる。

別解

別解:③を音の到達時刻の式から求める。 列車が最も近い点を通過する時刻を $0$ とし、時刻 $t$ に発した音を考える。そのときの列車の位置は最も近い点から $ut$(負なら手前)で、O までの距離は $\sqrt{d^2+u^2{t}^2}$ である。この音が O に到達する時刻は次のとおりである。

$$T=t+\frac{\sqrt{d^2+u^2{t}^2}}{V}$$

$T=0$ となる $t$ を求めると、$V^2{t}^2=d^2+u^2{t}^2$($t<0$)から $t=-\frac{d}{\sqrt{V^2-u^2}}\fallingdotseq -0.50\mathrm{s}$ である。このとき列車は手前 $u|t|\fallingdotseq 17\mathrm{m}$ にいて、$\cos \theta =\frac{u|t|}{V|t|}=\frac{u}{V}$ となり、③と同じ $600\mathrm{Hz}$ が得られる。

②と比較すると、最接近の約 $0.50$ 秒前・手前 $17\mathrm{m}$ で発した音を最接近の瞬間に聞き、最接近で発した音を $0.50$ 秒後に聞く。前後でほぼ対称な関係になっている。