2つのスピーカーの間を歩くと聞こえる音の強弱

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 静止していれば、直線上の各点で音の大きさは一定である。強め合う点と弱め合う点が交互に並んでいるので、その中を歩くと、強い点と弱い点を順に通過して強弱をくり返す。

一方、歩いている観測者の立場では、B の音はドップラー効果で高く、A の音は低く観測される。振動数のわずかに異なる2つの音を同時に受けるので、うなりが生じる。同じ現象を干渉とドップラー効果の2通りで説明し、回数を比較する。

① 強め合う点の間隔。 波長は $\lambda =\frac{340}{680}=0.50\mathrm{m}$ である。A と B の中点から B の向きに $x$ だけ離れた点では、A からの距離は B からの距離より $2x$ 長い。同位相の2つの音が強め合う条件は、距離の差が波長の整数倍になることである。

$$2x=m\lambda (m=0,\pm 1,\pm 2,\dots )⟹x=m\times \frac{\lambda }{2}$$

強め合う点の間隔は $\frac{\lambda }{2}=0.25\mathrm{m}$ である。

② 強弱の回数(干渉で考える)。 観測者は毎秒 $1.0\mathrm{m}$ 進むので、間隔 $0.25\mathrm{m}$ の強め合う点を毎秒 $\frac{1.0}{0.25}=4.0$ 個通過する。音の強弱は毎秒 $4.0$ 回くり返して聞こえる。

③ 強弱の回数(ドップラー効果で考える)。 観測者は B に近づき、A から遠ざかる。音源は静止しているので、観測者が受ける振動数は次のとおりである。

$$f_{\mathrm{B}}=680\times \frac{340+1.0}{340}=682\mathrm{Hz},f_{\mathrm{A}}=680\times \frac{340-1.0}{340}=678\mathrm{Hz}$$

うなりの回数は振動数の差で、$682-678=4$ 回である。

④ 2つの説明が一致する理由。 干渉で考えると、強め合う点の間隔は $\frac{\lambda }{2}=\frac{V}{2f}$ なので、1秒あたりの回数は次のようになる。

$$\frac{u}{V/(2f)}=\frac{2fu}{V}$$

ドップラー効果で考えると、うなりの回数は次のとおりである。

$$f\frac{V+u}{V}-f\frac{V-u}{V}=\frac{2fu}{V}$$

どちらも $\frac{2fu}{V}$ になる。$f=680\mathrm{Hz}$、$u=1.0m/s$、$V=340m/s$ を代入すると $4$ 回で、②と③に一致する。

まとめ 2つの音源の間を移動するときの強弱は、静止した干渉の模様の中を通過すると考えても、ドップラー効果による振動数のずれのうなりと考えても、同じ回数になる。同じ現象を、地面に静止した立場と観測者とともに移動する立場で表したものである。

発展。 2つの音源の振動数が少し異なる場合は、観測者が静止していても、強め合う点の位置そのものが一定の速さで移動していく。このとき聞こえるうなりは、移動する強め合いの点が観測者を通過する回数とみなせる。

別解

別解:2つの波の重ね合わせの式で考える。 中点を原点とし、B の向きを正とする。A から進む波と B から進む波は、位置 $x$、時刻 $t$ で次のように表せる(位相の基準は同じとする)。

$$y_{\mathrm{A}}=a\sin 2\pi \left(ft-\frac{x}{\lambda }\right),y_{\mathrm{B}}=a\sin 2\pi \left(ft+\frac{x}{\lambda }\right)$$

和は $y=2a\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\sin 2\pi ft$ で、振幅は $2a\left|\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\right|$ である。振幅が最大になるのは $x$ が $\frac{\lambda }{2}$ の整数倍の点で、①と一致する。

観測者の位置 $x=ut$ を代入すると、観測者が受ける振幅は $2a\left|\cos \frac{2\pi ut}{\lambda }\right|$ と時間変化する。この絶対値の周期は $\frac{\lambda }{2u}=0.25\mathrm{s}$ なので、強弱は毎秒 $4$ 回になる。