物理 / 原子

箱に閉じ込めた電子のエネルギーはとびとびの値になる

★★★★ 難関物質波定常波エネルギー準位

問題

長さ $L = 0.50 nm$ の一直線上の領域に、電子(質量 $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ )が閉じ込められている。電子は領域の両端から外に出られず、領域の中では力を受けずに運動する。電子の物質波は両端を節とする定常波になる。プランク定数を $h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 、光の速さを $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ 、電気素量を $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とする。

長さ L の一直線上の領域に閉じ込められた電子

(1) 物質波が両端を節とする定常波になる条件から、可能な波長 $λ_{n}$ を $L$ と自然数 $n$ で表せ。

(2) 電子の運動エネルギー $E_{n}$ を、 $h$ 、 $m$ 、 $L$ 、 $n$ で表せ。

(3) $E_{1}$ を J と eV の単位で求めよ。また、 $E_{2}$ を eV の単位で求めよ。

(4) 電子が $n = 2$ の状態から $n = 1$ の状態に遷移するときに、光子を1個放出する。その光の波長を求めよ。

(5) 電子のエネルギーは $0$ にならない。その理由を物質波の波長の条件から述べよ。また、領域の長さを半分にすると $E_{1}$ は何倍になるか。

ヒントを見る

弦の定常波と同じように、両端が節のとき、領域の長さは波長の何倍か。そのときの運動量と運動エネルギーは、ド・ブロイの関係からどう表されるか。

解答・解説

方針

両端が節の定常波では、領域の長さが半波長の整数倍になり、 $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ である。運動量は $\frac{h}{λ _{n}} = \frac{nh}{2 L}$ で、運動エネルギーは $\frac{p ^{2}}{2 m} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$ になる。 $n$ が自然数に限られるので、エネルギーはとびとびの値をとり、最も低いエネルギーも $0$ ではない。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 閉じ込められた電子の物質波は、弦の定常波と同じように両端が節になる。可能な波長はとびとびの値に限られ、ド・ブロイの関係 $p = \frac{h}{λ}$ から運動量もとびとびになる。

運動エネルギーは運動量の2乗に比例するので、エネルギーもとびとびの値になる。原子のエネルギー準位がとびとびになる理由も、同じ考え方で理解できる。

① 可能な波長。 両端が節の定常波では、領域の長さは半波長の整数倍である。

$L = n \frac{λ _{n}}{2} ⟹ λ_{n} = \frac{2 L}{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$

② エネルギー。 運動量は $p_{n} = \frac{h}{λ _{n}} = \frac{nh}{2 L}$ なので、運動エネルギーは次のようになる。

$E_{n} = \frac{p _{n}^{2}}{2 m} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$

重要長さ

L

の領域に閉じ込めた粒子の物質波は

λ_{n} = \frac{2 L}{n}

の定常波で、エネルギーは

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

のとびとびの値になる

③ $E_{1}$ と $E_{2}$ 。

$E_{1} = \frac{( 6.6 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{8 \times 9.1 \times 1 0 ^{- 31} \times ( 0.50 \times 1 0 ^{- 9} ) ^{2}} ≒ 2.4 \times 1 0^{- 19} J = 1.5 eV$

$E_{2} = 4 E_{1} ≒ 6.0 eV$ である。

n=1、2、3 の物質波の定常波(青)とエネルギー E [eV]。波長は 2L/n で、エネルギーは n² に比例して 1.5、6.0、13.5 eV になる

④ 放出される光の波長。 光子のエネルギーは $E_{2} - E_{1} = 3 E_{1} ≒ 7.2 \times 1 0^{- 19} J$ である。

$λ = \frac{h c}{E _{2} - E _{1}} = \frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34} \times 3.0 \times 1 0 ^{8}}{7.18 \times 1 0 ^{- 19}} ≒ 2.8 \times 1 0^{- 7} m$

⑤ エネルギーが $0$ にならない理由と、長さを半分にしたとき。 両端を節とするには、波長は最も長くても $2 L$ である。波長が有限なので運動量 $\frac{h}{λ}$ は $0$ にならず、運動エネルギーも $0$ にならない。 $E_{1}$ は $L^{2}$ に反比例するので、長さを半分にすると4倍になる。

まとめ 閉じ込められた粒子の物質波は両端が節の定常波になり、波長が $\frac{2 L}{n}$ に限られる。そのためエネルギーは $\frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$ のとびとびの値になり、最も低いエネルギーも $0$ ではない。

発展。 狭い領域に閉じ込めるほどエネルギーの間隔が大きくなる性質は、半導体の微粒子(量子ドット)で、粒子の大きさによって発光の色を変化させるのに利用されている。小さい粒子ほどエネルギーの間隔が大きく、短い波長の光を放出する。

答

(1) $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ (2) $E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$ (3) $E_{1} ≒ 2.4 \times 1 0^{- 19} J = 1.5 eV$ 、 $E_{2} ≒ 6.0 eV$ (4) 約 $2.8 \times 1 0^{- 7} m$ (5) 両端を節とするには波長が $2 L$ 以下でなければならず、運動量 $\frac{h}{λ}$ は $0$ にならないから。4倍

別解

別解:ボーアの量子条件と比較する。 ボーアの原子模型では、円軌道の円周が物質波の波長の整数倍 $2 π r = nλ$ になる条件で軌道が定まった。ここでは、一直線の領域を往復する距離 $2 L$ が波長の整数倍になる条件 $2 L = nλ$ と考えられる。

どちらも「物質波が自分自身と重なって打ち消し合わない」条件で、可能な波長がとびとびになる。 $2 L = nλ$ は①の $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ と同じで、運動量 $\frac{nh}{2 L}$ から②の $E_{n}$ が得られる。

ポイント

両端が節の定常波では、領域の長さは半波長の整数倍。 $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$
運動量 $\frac{nh}{2 L}$ から $E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$ 。エネルギーはとびとびで $n^{2}$ に比例する
最も低いエネルギーも $0$ ではない。狭く閉じ込めるほどエネルギーは大きい

よくある間違い

両端が節の定常波の条件を $L = nλ$ とする。隣り合う節の間隔は半波長なので、 $L = n \frac{λ}{2}$ である
電子が静止していれば、エネルギーは $0$ になると考える。両端を節とする物質波の波長は $2 L$ 以下で、運動量は $0$ にならない
$E_{n}$ が $n$ に比例すると考える。運動量が $n$ に比例し、エネルギーは運動量の2乗に比例するので、 $n^{2}$ に比例する