光を当てたままにした金属球の電位は一定の値に達する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 光電子が飛び出すと、金属球には正の電荷が残存し、電位が高くなる。飛び出した電子は正に帯電した金属球に引き戻されるので、遠くまで到達するには運動エネルギーが必要である。

金属球の電位が $V$ のとき、電子が無限に遠くまで到達するには、運動エネルギーが $eV$ 以上でなければならない。最大の運動エネルギーが $eV$ に等しくなると、それ以上電子は遠ざかれず、電位は一定になる。

① 光子のエネルギーと最大の運動エネルギー。

$$\frac{hc}{\lambda }=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{400\times 10^{-9}}=4.95\times 10^{-19}\mathrm{J}\fallingdotseq 3.1\mathrm{eV}$$

最大の運動エネルギーは $3.09-2.3\fallingdotseq 0.79\mathrm{eV}$ である。

② 電荷と電位の変化。 負の電荷の電子が飛び出すので、金属球には正の電荷が増加し、電位が高くなる。

③ 一定になる電位。 電位が $V$ になると、電子が金属球から無限に遠くまで遠ざかるには $eV$ の運動エネルギーが必要である。最大の運動エネルギー $0.79\mathrm{eV}$ がこれに等しくなると、どの電子も遠くまで到達できず、金属球に引き戻される。

$$eV=0.79\mathrm{eV}⟹V\fallingdotseq 0.79\mathrm{V}$$

④ 電荷と電子の数。 $V=k\frac{Q}{R}$ から次のようになる。

$$Q=\frac{VR}{k}=\frac{0.79\times 1.0\times 10^{-2}}{9.0\times 10^9}\fallingdotseq 8.8\times 10^{-13}\mathrm{C},\frac{Q}{e}\fallingdotseq 5.5\times 10^6\text{個}$$

⑤ 光の強さと波長を変化させたとき。 光を強くすると単位時間に飛び出す電子の数は増加するが、最大の運動エネルギーは変化しないので、一定になる電位は同じ $0.79\mathrm{V}$ で、早くその値に達する。波長 $600\mathrm{nm}$ の光子のエネルギーは $\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{600\times 10^{-9}}\fallingdotseq 2.1\mathrm{eV}$ で仕事関数 $2.3\mathrm{eV}$ より小さいので、光電子は飛び出さず、電位は $0$ のままである。

まとめ 絶縁された金属に光を当てたままにすると、光電子が飛び出して正に帯電し、電位が高くなる。最大の運動エネルギーを電気素量で割った電位で、電子が遠くまで到達できなくなり、電位は一定になる。

発展。 宇宙空間の人工衛星は、太陽の紫外線による光電効果で表面から電子が放出され、正に帯電することがある。帯電の大きさが表面の材料によって異なると、部分ごとの電位の差から放電が発生し、機器の故障の原因になるので、表面の材料が工夫されている。

別解

別解:電子が金属球の表面から無限遠まで遠ざかる間のエネルギーで考える。 電荷 $Q$ の金属球の表面での電位は $k\frac{Q}{R}$ で、無限遠では $0$ である。電子(電荷 $-e$)が表面から無限遠まで遠ざかると、位置エネルギーは $(-e)\times 0-(-e)\times k\frac{Q}{R}=ek\frac{Q}{R}$ だけ増加する。

最大の運動エネルギー $0.79\mathrm{eV}$ がこの増加分に等しいとき、電子は無限遠にちょうど到達する。$ek\frac{Q}{R}=0.79\times e$ から $Q=\frac{0.79R}{k}$ となり、④と一致する。