光子を吸収させて原子を減速する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 光子は運動量 $\frac{h}{\lambda }$ をもち、原子が正面から光子を吸収すると、運動量の保存によって原子は減速する。1個の光子の運動量はきわめて小さいが、吸収と放出をくり返すことで減速が積み重なる。

吸収は常に光が来る向きから生じるのに対し、放出の向きはばらばらである。そのため、平均すると吸収の効果だけが残存し、原子を一方向に減速させる。

① 光子の運動量とエネルギー。

$$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{6.6\times 10^{-34}}{589\times 10^{-9}}\fallingdotseq 1.1\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot m/s,E=\frac{hc}{\lambda }\fallingdotseq 3.4\times 10^{-19}\mathrm{J}=2.1\mathrm{eV}$$

② 1回の吸収による速さの変化。

$$\Delta v=\frac{p}{m}=\frac{1.12\times 10^{-27}}{3.8\times 10^{-26}}\fallingdotseq 3.0\times 10^{-2}m/s$$

③ 放出の効果が平均して $0$ になる理由。 放出される光子の向きはあらゆる向きに等しい確率なので、多数回の放出による運動量の変化は互いに打ち消し合い、平均は $0$ になる。吸収は常に原子の正面から来る光によるので、その効果だけが積み重なる。

④ 静止するまでに吸収する光子の数。

$$N=\frac{600}{2.95\times 10^{-2}}\fallingdotseq 2.0\times 10^4\text{個}$$

⑤ 減速の加速度、時間、距離。 毎秒 $1.0\times 10^7$ 回、速さが $2.95\times 10^{-2}m/s$ ずつ減少するので、加速度の大きさは次のとおりである。

$$a=1.0\times 10^7\times 2.95\times 10^{-2}\fallingdotseq 3.0\times 10^{5}m/{\mathrm{s}}^2$$

$$t=\frac{600}{2.95\times 10^5}\fallingdotseq 2.0\times 10^{-3}\mathrm{s},x=\frac{600^2}{2\times 2.95\times 10^5}\fallingdotseq 0.61\mathrm{m}$$

まとめ 光子1個の運動量による速さの変化は数 cm/s とわずかだが、毎秒 $10^7$ 回の吸収で重力加速度の数万倍の減速になる。原子は $1\mathrm{m}$ 足らずの距離で静止する。

発展。 実際には、原子が減速するとドップラー効果で吸収する光の振動数がずれるので、レーザーの振動数や磁場を調整して吸収を維持させる。このようにして原子を減速し、絶対零度に近い温度まで冷却する技術はレーザー冷却とよばれ、原子時計などに用いられている。

別解

別解:力として考える。 毎秒 $1.0\times 10^7$ 個の光子を吸収すると、原子は1秒間に $1.0\times 10^7\times 1.12\times 10^{-27}=1.12\times 10^{-20}\mathrm{kg}\cdot m/s$ の運動量を得る。単位時間あたりの運動量の変化は力に等しいので、原子にはたらく平均の力は $1.12\times 10^{-20}\mathrm{N}$ である。

$$a=\frac{F}{m}=\frac{1.12\times 10^{-20}}{3.8\times 10^{-26}}\fallingdotseq 3.0\times 10^{5}m/{\mathrm{s}}^2$$

⑤と一致する。光の力はきわめて小さいが、原子の質量も非常に小さいので、大きな加速度になる。