α崩壊で放出されるエネルギーのほとんどをα粒子が得る

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 崩壊で放出されるエネルギーは、崩壊の前後の質量の差から求まる。このエネルギーを2つの粒子がどう分配するかは、運動量の保存で定まる。

はじめ静止しているので、2つの粒子は大きさの等しい運動量で反対の向きに進む。運動量が等しければ、運動エネルギー $\frac{p^2}{2m}$ は質量に反比例し、軽い粒子が多くのエネルギーを得る。

① 放出されるエネルギー。 原子の質量で計算すると、電子の質量は前後で打ち消し合う。

$$\Delta m=226.02541-222.01758-4.00260=0.00523\mathrm{u},Q=0.00523\times 931.5\fallingdotseq 4.87\mathrm{MeV}$$

② 運動量の関係。 はじめの運動量は $0$ なので、崩壊後の2つの粒子の運動量は大きさが等しく、向きが反対である。

③ 運動エネルギーの配分。 運動量の大きさを $p$ とすると、運動エネルギーは $\frac{p^2}{2m}$ なので、質量に反比例する。

$$K_{\alpha }=Q\times \frac{222}{4+222}\fallingdotseq 4.79\mathrm{MeV},K_{\mathrm{Rn}}=Q\times \frac{4}{226}\fallingdotseq 0.086\mathrm{MeV}$$

④ 速さ。 α 粒子の質量は $4\times 1.66\times 10^{-27}=6.64\times 10^{-27}\mathrm{kg}$ である。

$$v_{\alpha }=\sqrt{\frac{2K_{\alpha }}{m_{\alpha }}}=\sqrt{\frac{2\times 4.79\times 1.6\times 10^{-13}}{6.64\times 10^{-27}}}\fallingdotseq 1.5\times 10^{7}m/s$$

運動量が等しいので、ラドンの原子核の速さは $v_{\alpha }\times \frac{4}{222}\fallingdotseq 2.7\times 10^{5}m/s$ である。

⑤ β 崩壊との違い。 α 崩壊で生じるのは2つの粒子なので、運動量とエネルギーの保存から、それぞれの運動エネルギーが一通りに定まる。β 崩壊では、電子のほかに観測しにくいニュートリノが放出され、3つの粒子でエネルギーを分配する。配分は一通りに定まらないので、電子の運動エネルギーは連続的な分布になる。

まとめ α 崩壊で放出されるエネルギーは質量の差から求まり、運動量の保存によって質量に反比例して配分される。軽い α 粒子がほとんどのエネルギーを得て、一定の運動エネルギーで放出される。

発展。 β 崩壊の電子のエネルギーが連続的であることは、エネルギーが保存されないのではないかという疑問を生んだ。パウリは、観測されない粒子(ニュートリノ)がエネルギーの一部を運ぶと考え、その後の実験でニュートリノの存在が確認された。

別解

別解:速さの比から配分を求める。 運動量が等しいので、速さは質量に反比例し、$v_{\alpha }:v_{\mathrm{Rn}}=222:4$ である。運動エネルギーの比は次のようになる。

$$\frac{K_{\alpha }}{K_{\mathrm{Rn}}}=\frac{\frac{1}{2}{m}_{\alpha }{v}_{\alpha }^2}{\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{Rn}}{v}_{\mathrm{Rn}}^2}=\frac{4\times 222^2}{222\times 4^2}=\frac{222}{4}$$

$K_{\alpha }+K_{\mathrm{Rn}}=Q$ を用いると、$K_{\alpha }=\frac{222}{226}Q$、$K_{\mathrm{Rn}}=\frac{4}{226}Q$ となり、③と一致する。