原子核の運動も考慮すると、重水素の光の波長はわずかにずれる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 原子核は電子より約 $2000$ 倍重いが、無限に重いわけではない。電子と原子核は共通の重心のまわりを回り、その効果は電子の質量を $\mu$ に置換することで考慮できる。

$\mu$ は原子核の質量によってわずかに異なるので、同じ遷移でも、水素と重水素では放出される光の波長がわずかにずれる。このずれを計算すればよい。

① 波長の倍率。 $\mu =\frac{mM}{m+M}=\frac{m}{1+\frac{m}{M}}$ なので、エネルギー準位と光のエネルギーは原子核が静止している場合の $\frac{1}{1+\frac{m}{M}}$ 倍になる。波長はエネルギーに反比例するので、次のようになる。

$$\lambda ={\lambda }_{\infty }\left(1+\frac{m}{M}\right)$$

② 水素の Hα 線。

$${\lambda }_{\mathrm{H}}=656.1\times \left(1+\frac{1}{1836}\right)\fallingdotseq 656.457\mathrm{nm}$$

③ 重水素の Hα 線と差。

$${\lambda }_{\mathrm{D}}=656.1\times \left(1+\frac{1}{3670}\right)\fallingdotseq 656.279\mathrm{nm}$$

差は $656.457-656.279\fallingdotseq 0.18\mathrm{nm}$ で、重水素の原子核のほうが重く $\frac{m}{M}$ が小さいので、重水素の光は短い波長に現れる。

④ 光が弱かった理由。 自然の水素の中で重水素の割合はごくわずか(約 $0.015\%$)なので、重水素の原子が放出する光は水素の光よりはるかに弱い。強い水素の光のすぐ近くに現れる弱い光として観測された。

⑤ ミューオン水素。 ミューオンの質量を $207m$、陽子の質量を $1836m$ とすると、換算質量は次のとおりである。

$$\mu =\frac{207\times 1836}{207+1836}m\fallingdotseq 186m$$

基底状態のエネルギーは $\mu$ に比例するので、水素原子の約 $186$ 倍で、$-13.6\times 186\fallingdotseq -2.5\times 10^3\mathrm{eV}$ である。

まとめ 原子核の運動も考慮すると、エネルギー準位は換算質量 $\mu$ に比例し、光の波長は $1+\frac{m}{M}$ 倍になる。水素と重水素では $\frac{m}{M}$ が異なるので、同じ遷移の光の波長が約 $0.18\mathrm{nm}$ ずれる。

発展。 ユーリーらはこの波長のずれを予想し、水素を蒸発させて重水素の割合を高めた試料のスペクトルを測定して、重水素を発見した。わずかな波長のずれから原子核の質量の違いが判明する例である。

別解

別解:差を近似式で求める。 $\lambda ={\lambda }_{\infty }\left(1+\frac{m}{M}\right)$ なので、水素と重水素の波長の差は次のようになる。

$${\lambda }_{\mathrm{H}}-{\lambda }_{\mathrm{D}}={\lambda }_{\infty }\left(\frac{m}{M_{\mathrm{H}}}-\frac{m}{M_{\mathrm{D}}}\right)=656.1\times \left(\frac{1}{1836}-\frac{1}{3670}\right)\fallingdotseq 0.18\mathrm{nm}$$

重水素の原子核の質量は陽子のほぼ2倍なので、$\frac{m}{M_{\mathrm{D}}}\fallingdotseq \frac{1}{2}\times \frac{m}{M_{\mathrm{H}}}$ で、差は ${\lambda }_{\infty }\times \frac{1}{2\times 1836}\fallingdotseq 0.18\mathrm{nm}$ とも見積もれる。