α粒子を金の原子核に正面から当てたときの最接近距離

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) α 粒子と原子核はどちらも正の電荷をもつので、α 粒子は近づくにつれて減速する。正面から近づくと、最も近づいたときに速さが $0$ になり、運動エネルギーはすべて静電気力による位置エネルギーになる。

最接近距離を原子の大きさや原子核の大きさと比較すると、原子の中で正の電荷がどれだけ小さな領域に集中しているかが判明する。

① 位置エネルギー。

$$U(r)=k\frac{(2e)(79e)}{r}$$

② 最接近距離。 運動エネルギーがすべて位置エネルギーになる距離である。

$$K=k\frac{158e^2}{d}⟹d=\frac{9.0\times 10^9\times 158\times (1.6\times 10^{-19}{)}^2}{5.0\times 1.6\times 10^{-13}}\fallingdotseq 4.6\times 10^{-14}\mathrm{m}$$

③ 原子・原子核との比較。 $\frac{1\times 10^{-10}}{4.6\times 10^{-14}}\fallingdotseq 2000$ なので、$d$ は原子の大きさの約 $\frac{1}{2000}$ である。金の原子核の半径は $1.2\times 10^{-15}\times 5.8\fallingdotseq 7.0\times 10^{-15}\mathrm{m}$ で $d$ より小さいので、α 粒子は原子核の表面に到達せず、静電気力だけで反発される。

④ 表面に到達するのに必要な運動エネルギー。 最接近距離は $K$ に反比例するので、$d=7.0\times 10^{-15}\mathrm{m}$ にするには次のようになる。

$$K^{\prime }=5.0\times \frac{4.55\times 10^{-14}}{7.0\times 10^{-15}}\fallingdotseq 33\mathrm{MeV}$$

⑤ アルミニウムの場合。 最接近距離は原子核の電荷に比例するので、$4.55\times 10^{-14}\times \frac{13}{79}\fallingdotseq 7.5\times 10^{-15}\mathrm{m}$ である。アルミニウムの原子核の半径は $1.2\times 10^{-15}\times 27^{\frac{1}{3}}=3.6\times 10^{-15}\mathrm{m}$ で、最接近距離はその約2倍にすぎない。原子核の大きさに近づくので、静電気力だけでは説明できない現象が観測されやすくなる。

まとめ 正面から近づく α 粒子の最接近距離は、運動エネルギーと位置エネルギーが等しい距離 $\frac{k{q}_1{q}_2}{K}$ である。金の原子核では原子の約 $\frac{1}{2000}$ で、原子核の半径より大きいので、α 粒子は静電気力だけで反発される。

発展。 ラザフォードは、金箔に当てた α 粒子のごく一部が大きな角度で散乱されることから、原子の質量と正の電荷が小さな原子核に集中していることを明らかにした。軽い原子核では、運動エネルギーを大きくすると散乱の割合が静電気力だけの計算からずれ、原子核の大きさを見積もる手がかりになった。

別解

別解:電位を用いて計算する。 金の原子核が距離 $r$ の点につくる電位は $\frac{k(79e)}{r}$ である。α 粒子の運動エネルギー $5.0\mathrm{MeV}$ は、電荷 $2e$ の粒子が電位差 $2.5\times 10^6\mathrm{V}$ を上る仕事に相当する。

$$\frac{k(79e)}{d}=2.5\times 10^6\mathrm{V}⟹d=\frac{9.0\times 10^9\times 79\times 1.6\times 10^{-19}}{2.5\times 10^6}\fallingdotseq 4.6\times 10^{-14}\mathrm{m}$$

②と一致する。電子ボルトの単位を用いると、電荷とエネルギーの換算が簡単になる。