物理 / 電磁誘導と交流

初速を与えた導体棒が停止するまでに進む距離

★★★★ 難関導体棒の誘導起電力力積ジュール熱

問題

間隔 $l = 0.50 m$ の水平でなめらかな2本のレールの一端を、抵抗値 $R = 0.20 Ω$ の抵抗で接続する。鉛直方向に磁束密度 $B = 0.40 T$ の一様な磁場がある。質量 $m = 2.0 \times 1 0^{- 2} kg$ の導体棒をレールに垂直に配置し、抵抗から遠ざかる向きに初速 $v_{0} = 4.0 m/s$ を与える。抵抗以外の電気抵抗と回路の自己誘導は無視する。

レールの一端を抵抗 R で接続し、導体棒に抵抗から遠ざかる向きの初速 v₀ を与える(真上から観察した図)

(1) 導体棒の速さが $v$ のとき、導体棒が磁場から受ける力の大きさと向きを求めよ。

(2) 導体棒が微小な距離 $Δ x$ 進む間の速さの変化 $Δ v$ を、 $Δ x$ で表せ。このことから、速さは進んだ距離に対してどのように減少するか。

(3) 導体棒が停止するまでに進む距離を求めよ。

(4) 導体棒が停止するまでに抵抗を流れる電荷と、発生するジュール熱を求めよ。

(5) 導体棒が $0.30 m$ 進んだときの速さを求めよ。

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導体棒が受ける力は速さに比例する。微小な時間に受ける力積を、その間に進む距離で表すとどうなるか。

解答・解説

方針

導体棒が受ける力は速さに比例し、 $\frac{B ^{2} l ^{2} v}{R}$ である。微小な時間の運動量の変化を考えると、 $v Δ t = Δ x$ なので、速さの減少は進んだ距離に比例する。速さが $0$ になるまでの距離は、初めの運動量を力の比例定数で割って求まる。流れる電荷も運動量と力積の関係から求まり、熱は初めの運動エネルギーに等しい。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 導体棒が受ける力は速さに比例するので、時間に対しては速さが指数関数的に減少し、停止するまでの時間を求めるのは難しい。しかし、力積は「力 × 時間」で、力が速さに比例するので、力積は「速さ × 時間」すなわち進んだ距離に比例する。

運動量の変化と力積の関係を距離で表すと、速さは距離に対して直線的に減少することが判明する。停止するまでの距離はこの関係から直接求まる。

① 磁場から受ける力。 誘導起電力は $B l v$ 、電流は $\frac{B l v}{R}$ で、導体棒が受ける力の大きさは次のとおりである。

$F = \frac{B l v}{R} \times B l = \frac{B ^{2} l ^{2} v}{R} = \frac{0.4 0 ^{2} \times 0.5 0 ^{2}}{0.20} v = 0.20 v [N]$

力の向きは、レンツの法則により運動を妨げる向き、すなわち運動と逆向きである。

② 速さと距離の関係。 微小な時間 $Δ t$ の運動量の変化は、力積に等しい。

$m Δ v = - \frac{B ^{2} l ^{2} v}{R} Δ t = - \frac{B ^{2} l ^{2}}{R} Δ x ⟹ Δ v = - \frac{B ^{2} l ^{2}}{m R} Δ x = - 10Δ x$

$Δ v$ は $Δ x$ に比例するので、速さは進んだ距離に比例して減少する。

進んだ距離 x [m] と導体棒の速さ v [m/s]。速さは距離に比例して減少し、0.40 m で停止する

重要速さに比例する力を受けて減速するとき、速さは進んだ距離に比例して減少する。力積が進んだ距離に比例するため

③ 停止するまでの距離。 速さが $4.0 m/s$ から $0$ まで減少するので、次のようになる。

$x = \frac{m v _{0} R}{B ^{2} l ^{2}} = \frac{4.0}{10} = 0.40 m$

④ 電荷とジュール熱。 力積の大きさは $B l \times (電流の時間の和) = B l Q$ で、運動量の変化 $m v_{0}$ に等しい。

$Q = \frac{m v _{0}}{B l} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 2} \times 4.0}{0.40 \times 0.50} = 0.40 C$

運動エネルギーはすべてジュール熱になるので、熱は $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 1 0^{- 2} \times 4. 0^{2} = 0.16 J$ である。

⑤ $0.30 m$ 進んだときの速さ。 ②の関係から、速さは $4.0 - 10 \times 0.30 = 1.0 m/s$ である。

まとめ 速さに比例する力を受けて減速する導体棒では、力積が進んだ距離に比例するので、速さは距離に対して直線的に減少する。停止するまでの距離 $\frac{m v _{0} R}{B ^{2} l ^{2}}$ と流れる電荷 $\frac{m v _{0}}{B l}$ は、時間の変化を追わずに求まる。

発展。 時間に対しては、速さは $v_{0} e^{- t / τ}$ ( $τ = \frac{m R}{B ^{2} l ^{2}} = 0.10 s$ )のように減少し、理論上は停止するまでに限りなく長い時間がかかる。それでも進む距離は有限の $0.40 m$ にとどまる。渦電流を用いた電車のブレーキでも、低速では力がほぼ速さに比例するので、同じ考え方が適用できる。

答

(1) $\frac{B ^{2} l ^{2} v}{R} = 0.20 v$ [N] で、運動と逆向き (2) $Δ v = - \frac{B ^{2} l ^{2}}{m R} Δ x = - 10Δ x$ 。速さは進んだ距離に比例して減少する (3) $0.40 m$ (4) $0.40 C$ 、 $0.16 J$ (5) $1.0 m/s$

別解

別解:電荷と距離の関係から求める。 導体棒が距離 $x$ 進む間に、回路を貫く磁束は $B l x$ だけ変化する。流れる電荷は磁束の変化を抵抗で割った値で、 $Q = \frac{B l x}{R}$ である。

一方、運動量と力積の関係から $m v_{0} = B l Q$ なので、 $m v_{0} = \frac{B ^{2} l ^{2} x}{R}$ となり、 $x = \frac{m v _{0} R}{B ^{2} l ^{2}} = 0.40 m$ が得られる。③と一致し、流れる電荷 $Q = \frac{0.40 \times 0.50 \times 0.40}{0.20} = 0.40 C$ も④と一致する。

ポイント

導体棒が受ける力は $\frac{B ^{2} l ^{2} v}{R}$ で、速さに比例する
力積は進んだ距離に比例し、速さは距離に対して直線的に減少する
停止するまでの距離 $\frac{m v _{0} R}{B ^{2} l ^{2}}$ 、電荷 $\frac{m v _{0}}{B l}$ 、熱 $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

よくある間違い

力が一定であると考えて、等加速度運動として距離を求める。力は速さに比例して小さくなる
速さは時間とともに減少するので、停止するまでに進む距離も無限大になると考える。速さは距離に比例して減少するので、距離は有限である
流れる電荷を、初めの電流 $\frac{B l v _{0}}{R}$ と時間の積で求める。電流は時間とともに減少するので、力積との関係か磁束の変化から求める