交流の磁場の中の金属の輪で発生する熱は周波数の2乗に比例する

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交流の磁場の中では、輪を貫く磁束が周期的に変化し、輪に交流の起電力が生じる。起電力は磁束の変化の割合に比例するので、同じ $B_0$ でも、周波数が大きいほど起電力は大きい。

ジュール熱の電力は起電力の2乗に比例するので、周波数の2乗に比例する。高い周波数の磁場を用いると、少ない磁場で大きな熱を発生させられる。

① 磁束と起電力の最大値。 輪の面積は $\pi a^2$ なので、磁束は $\Phi =\pi a^2{B}_0\sin \omega t$ である。起電力は磁束の変化の割合で $\omega \pi a^2{B}_0\cos \omega t$ となり、最大値は次のとおりである。

$$V_0=\omega \pi a^2{B}_0=2{\pi }^{2}f{a}^2{B}_0=2\times 9.87\times 2.0\times 10^4\times (5.0\times 10^{-2}{)}^2\times 1.0\times 10^{-3}\fallingdotseq 0.99\mathrm{V}$$

② 平均の電力。 交流の起電力の実効値は $\frac{V_0}{\sqrt{2}}$ なので、平均の電力は次のようになる。

$$\bar{P}=\frac{V_0^2}{2R}=\frac{0.987^2}{2\times 1.0\times 10^{-3}}\fallingdotseq 4.9\times 10^2\mathrm{W}$$

③ 周波数を2倍にしたとき。 $V_0$ は $f$ に比例するので2倍、$\bar{P}$ は $V_0^2$ に比例するので4倍になる。

④ $50\mathrm{Hz}$ のとき。 周波数は $\frac{50}{2.0\times 10^4}=\frac{1}{400}$ 倍なので、電力は $\frac{1}{400^2}$ 倍である。

$$4.87\times 10^2\times \frac{1}{1.6\times 10^5}\fallingdotseq 3.0\times 10^{-3}\mathrm{W}$$

家庭用の周波数では、ほとんど熱が発生しない。

⑤ 半径を2倍にしたとき。 面積は4倍なので $V_0$ は4倍、$\bar{P}$ は16倍になる。

まとめ 交流の磁場の中の輪に生じる起電力は周波数と面積に比例し、ジュール熱の平均の電力はその2乗に比例する。周波数を高くすることで、弱い磁場でも大きな熱を発生させられる。

発展。 電磁調理器(IH 調理器)は、数十 kHz の交流の磁場で鍋の底に渦状の電流(渦電流)を流し、そのジュール熱で鍋を加熱する。家庭用の 50 Hz や 60 Hz のままではほとんど加熱できないので、周波数を高くする回路が組み込まれている。

別解

別解:1周期の熱を時間について計算する。 起電力は $V_0\cos \omega t$ で、瞬間の電力は $\frac{V_0^2{\cos }^2\omega t}{R}$ である。${\cos }^2\omega t=\frac{1+\cos 2\omega t}{2}$ で、$\cos 2\omega t$ の1周期の平均は $0$ なので、平均の電力は $\frac{V_0^2}{2R}$ となり、②と一致する。

$V_0=2{\pi }^{2}f{a}^2{B}_0$ を代入すると $\bar{P}=\frac{2{\pi }^4{f}^2{a}^4{B}_0^2}{R}$ で、$f^2$ と $a^4$ に比例することが式の形から確認できる。