磁石がコイルを通り抜けるときの起電力のグラフの面積

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 誘導起電力は磁束の変化の割合に比例する。起電力のグラフを時間について合計した面積は、その間の磁束の変化そのものになる。

磁石がどのような速さで通り抜けても、接近するときの磁束の変化は $0$ から ${\Phi }_0$、遠ざかるときは ${\Phi }_0$ から $0$ で、大きさは同じである。グラフの形は速さで変化しても、面積は変化しない。

① グラフの面積の意味。 $V=N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$ なので、短い時間 $\Delta t$ の面積 $V\Delta t$ は $N\Delta \Phi$ である。ある時間の間の面積はその間の $N\Delta \Phi$ の和、すなわちコイル全体の磁束の変化を表す。

② 接近するときの面積。 磁束は $0$ から ${\Phi }_0$ まで増加するので、面積は次のとおりである。

$$N{\Phi }_0=100\times 2.0\times 10^{-4}=2.0\times 10^{-2}\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$$

③ 遠ざかるとき。 磁束は ${\Phi }_0$ から $0$ に減少するので、$V$ は負になる。面積の大きさは接近するときと同じ $2.0\times 10^{-2}\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$ である。

④ グラフの形の違い。 遠ざかるときは磁石が速く、同じ磁束の変化が短い時間で進行する。$V$ の大きさは磁束の変化の割合に比例するので、遠ざかるときは最大値が大きく、持続する時間が短い。面積の大きさはどちらも $N{\Phi }_0$ で等しい。

⑤ 流れる電荷。 電流は $\frac{V}{R}$ なので、流れる電荷はグラフの面積を $R$ で割った値である。

$$Q=\frac{N{\Phi }_0}{R}=\frac{2.0\times 10^{-2}}{10}=2.0\times 10^{-3}\mathrm{C}$$

遠ざかるときは同じ大きさの電荷が逆向きに流れるので、通り抜ける全体の合計は $0$ である。

まとめ 起電力のグラフの面積はその間の磁束の変化 $N\Delta \Phi$ を表す。磁石が接近するときと遠ざかるときで面積は等しく符号が逆で、速さはグラフの形だけを変化させる。

発展。 流れる電荷が磁束の変化だけで定まることを用いると、コイルを磁場から急に引き抜いたときに流れる電荷から、磁束密度を測定できる。この方法では、引き抜く速さを一定にする必要がない。

別解

別解:電荷を電流の和として直接求める。 抵抗を接続したとき、短い時間 $\Delta t$ に流れる電荷は $\frac{V}{R}\Delta t=\frac{N\Delta \Phi }{R}$ である。磁石が接近し始めてから中央に達するまで和をとると、$\Delta \Phi$ の和は ${\Phi }_0$ なので、電荷は $\frac{N{\Phi }_0}{R}$ となり、⑤と一致する。

この計算には、磁石の速さやグラフの形は現れない。電荷は、はじめと終わりの磁束の差だけで定まる。