誘導起電力のある回路では2点間の電圧が経路によって異なる

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 静電場では、2点間の電位差は経路によらず1つに定まる。しかし、磁束が変化している領域のまわりでは誘導電場ができ、閉じた経路を1周すると起電力が生じる。

そのため、同じ2点 A、B の間の電圧でも、どの経路に沿って測定するかで値が異なりうる。電圧計は、電圧計とその導線、そしてどちらかの抵抗がつくる閉じた回路の中で値を表示する。

① 誘導起電力と電流の向き。 誘導起電力の大きさは磁束の変化の割合 $1.0\mathrm{V}$ である。紙面の裏から表の向きの磁束が増加しているので、レンツの法則により、それを打ち消す紙面の表から裏の向きの磁場をつくる時計回りの電流が流れる。

② 電流の大きさ。

$$I=\frac{1.0}{100+900}=1.0\times 10^{-3}\mathrm{A}$$

③ 各抵抗の電圧。

$$V_1=I{R}_1=0.10\mathrm{V},V_2=I{R}_2=0.90\mathrm{V}$$

④ 電圧計の表示。 時計回りの電流は、右半分では A から B へ、左半分では B から A へ流れる。電圧計 2 とその導線と $R_2$ がつくる閉じた回路は磁束が変化する領域を囲まないので、電圧計 2 には $R_2$ と同じ電圧 $0.90\mathrm{V}$ がかかり、電流は $R_2$ と同じく A 側から B 側へ流れる。表示は $+0.90\mathrm{V}$ である。

電圧計 1 には同じ理由で $R_1$ と同じ電圧 $0.10\mathrm{V}$ がかかるが、$R_1$ の電流は B から A へ流れるので、電圧計 1 の内部も B 側から A 側へ電流が流れる。表示は $-0.10\mathrm{V}$ である。

⑤ 表示が異なる理由。 電圧計 1 の経路と電圧計 2 の経路を接続すると、ループと同じく磁束が変化する領域を囲む閉じた経路になる。この経路を1周すると誘導起電力 $1.0\mathrm{V}$ が生じるので、2つの経路に沿った電圧の差は $0.90-(-0.10)=1.0\mathrm{V}$ になる。

まとめ 誘導電場は1周すると起電力を生じるので、2点間の「電位差」は経路によって異なる。同じ2点に接続した電圧計でも、配置によって表示が異なり、その差は誘導起電力に等しい。

発展。 交流の大きな電流が流れる装置の近くで電圧を測定すると、測定用の導線の引き回し方によって表示が変化することがある。磁束が変化する領域を測定の導線が囲まないように配線するのは、この効果を回避するためである。

別解

別解:電圧計 1 と電圧計 2 を含む大きな回路で考える。 電圧計 1 から A を経て電圧計 2 へ、さらに B を経て電圧計 1 に至る閉じた経路は、ループの内部の磁束が変化する領域を囲む。この経路を時計回りにたどったときの起電力は $1.0\mathrm{V}$ である。

電圧計の内部抵抗は十分大きいので、この経路の電圧は2つの電圧計にかかる。時計回りにたどると、電圧計 2 では A 側から B 側へ、電圧計 1 では B 側から A 側へ進むので、$V_2-V_1=1.0\mathrm{V}$ である。④の $V_2=+0.90\mathrm{V}$、$V_1=-0.10\mathrm{V}$ はこの関係を満たす。