コイルとコンデンサーを並列にすると電源の電流が小さくなる周波数

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 並列に接続した素子には同じ電圧がかかるので、それぞれの電流は電圧から直接求まる。コイルの電流は電圧より $\frac{\pi }{2}$ 遅れ、コンデンサーの電流は $\frac{\pi }{2}$ 進む。

2つの電流は位相が $\pi$ ずれているので、互いに打ち消し合う。電源から流れる電流は2つの電流の大きさの差になる。

① $\omega =500rad/s$ のときの各電流。

$$I_L=\frac{V}{\omega L}=\frac{100}{500\times 0.10}=2.0\mathrm{A},I_C=\omega CV=500\times 10\times 10^{-6}\times 100=0.50\mathrm{A}$$

② 電源の電流。 2つの電流は逆位相なので、電源の電流は差の $2.0-0.50=1.5\mathrm{A}$ である。大きいのはコイルの電流なので、電源の電流は電圧より $\frac{\pi }{2}$ 遅れている。

③ 電源の電流が $0$ になる条件。 $I_L=I_C$ のとき、すなわち $\frac{V}{\omega L}=\omega CV$ のときである。

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0.10\times 10\times 10^{-6}}}=1000rad/s,f=\frac{1000}{2\pi }\fallingdotseq 1.6\times 10^2\mathrm{Hz}$$

④ 電源の電流が $0$ でも電流が流れる理由。 $\omega =1000rad/s$ では、コイルとコンデンサーにそれぞれ $1.0\mathrm{A}$ の電流が流れる。2つの電流は大きさが等しく逆位相なので、コイルから流出した電流はすべてコンデンサーへ流れ込み、電源を通らずに2つの素子の間を往復する。

この往復の間、エネルギーはコイルの磁場とコンデンサーの電場の間を交互に移動する。抵抗がなければエネルギーは失われないので、電源から電力を供給しなくても電流はいつまでも流れる。

⑤ $\omega =2000rad/s$ のとき。 $I_L=\frac{100}{2000\times 0.10}=0.50\mathrm{A}$、$I_C=2000\times 10\times 10^{-6}\times 100=2.0\mathrm{A}$ で、電源の電流は $1.5\mathrm{A}$ である。コンデンサーの電流が大きいので、電圧より $\frac{\pi }{2}$ 進んでいる。

まとめ 並列のコイルとコンデンサーの電流は逆位相で打ち消し合い、電源の電流は差になる。$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ では電源の電流が $0$ になり、電流は2つの素子の間だけを往復する。

発展。 直列共振では電流が最大になるのに対して、並列共振では電源の電流が最小になる。この性質は、特定の周波数の信号を除去する回路や、特定の周波数を選択する回路に用いられている。実際にはコイルに抵抗があるので、電源の電流は完全には $0$ にならない。

別解

別解:並列の合成インピーダンスで考える。 共通の電圧を基準にすると、コイルの電流は位相が $\frac{\pi }{2}$ 遅れた大きさ $\frac{V}{\omega L}$ の電流、コンデンサーの電流は位相が $\frac{\pi }{2}$ 進んだ大きさ $\omega CV$ の電流で、互いに逆向きに加わる。電源の電流の大きさは次のようになる。

$$I=V\left|\omega C-\frac{1}{\omega L}\right|$$

合成インピーダンスは $Z=\frac{1}{\left|\omega C-\frac{1}{\omega L}\right|}$ で、$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ のとき分母が $0$ になり、$Z$ は限りなく大きくなる。$\omega =500rad/s$ では $I=100\times |0.005-0.02|=1.5\mathrm{A}$ で、②と一致する。