ソレノイドの自己インダクタンスと磁場に蓄えられるエネルギー

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 自己インダクタンス $L$ は、コイル全体を貫く磁束の総和が電流に比例するときの比例定数である。ソレノイドでは内部の磁場が一様なので、磁束の総和を直接計算できる。

エネルギー $\frac{1}{2}L{I}^2$ を、電流ではなく内部の磁場 $B$ で表すと、エネルギーがソレノイドの内部の空間に分布しているとみなせる。

① 磁束密度と磁束の総和。 内部の磁束密度は $B={\mu }_{0}nI$ で、1巻きを貫く磁束は $BS$ である。巻数は $nl$ なので、磁束の総和は次のとおりである。

$$nl\times {\mu }_{0}nIS={\mu }_0{n}^{2}SlI$$

② 自己インダクタンス。 磁束の総和を $I$ で割ると、次のようになる。

$$L={\mu }_0{n}^{2}Sl=4\pi \times 10^{-7}\times 1000^2\times 4.0\times 10^{-4}\times 0.50=8\pi \times 10^{-5}\fallingdotseq 2.5\times 10^{-4}\mathrm{H}$$

③ 蓄えられるエネルギー。

$$U=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 8\pi \times 10^{-5}\times 2.0^2=16\pi \times 10^{-5}\fallingdotseq 5.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$$

④ 磁場のエネルギーとの比較。 内部の磁束密度は $B={\mu }_{0}nI=4\pi \times 10^{-7}\times 1000\times 2.0=8\pi \times 10^{-4}\mathrm{T}$ である。

$$\frac{B^2}{2{\mu }_0}\times Sl=\frac{(8\pi \times 10^{-4}{)}^2}{2\times 4\pi \times 10^{-7}}\times 2.0\times 10^{-4}=16\pi \times 10^{-5}\mathrm{J}$$

③の値と一致する。文字式でも、$\frac{B^2}{2{\mu }_0}Sl=\frac{({\mu }_{0}nI{)}^2}{2{\mu }_0}Sl=\frac{1}{2}{\mu }_0{n}^{2}Sl{I}^2=\frac{1}{2}L{I}^2$ である。

⑤ 自己誘導の起電力と巻数の効果。 起電力の大きさは $L$ と電流の増加の割合の積である。

$$V=L\frac{\Delta I}{\Delta t}=8\pi \times 10^{-5}\times 100\fallingdotseq 2.5\times 10^{-2}\mathrm{V}$$

$L$ は $n^2$ に比例するので、単位長さあたりの巻数を2倍にすると4倍になる。巻数が2倍になると磁束密度も2倍になり、1巻きを貫く磁束と巻数の両方が2倍になるためである。

まとめ ソレノイドの自己インダクタンスは、磁束の総和を電流で割って ${\mu }_0{n}^{2}Sl$ と求まる。蓄えられるエネルギー $\frac{1}{2}L{I}^2$ は、磁場の単位体積あたりのエネルギー $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$ が内部の体積に分布したものと一致する。

発展。 コンデンサーのエネルギーが電場の単位体積あたり $\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}$ の分布とみなせるのと同じように、コイルのエネルギーは磁場の分布とみなせる。電磁波が運ぶエネルギーも、この電場と磁場のエネルギーの和として表される。

別解

別解:電流を増加させる仕事からエネルギーを求める。 電流を $0$ から $I$ まで一定の割合で増加させる間、自己誘導の起電力 $L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ に逆らって電流を流す仕事が必要である。時間 $\Delta t$ の間の仕事は $L\frac{\Delta I}{\Delta t}\times i\Delta t=Li\Delta I$($i$ はそのときの電流)である。

$i$ を $0$ から $I$ まで変化させて和をとると、$Li$ のグラフ(直線)の下の三角形の面積で $\frac{1}{2}L{I}^2$ になる。この仕事が磁場のエネルギーとして蓄えられ、③の値 $5.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$ に一致する。