コンデンサーを接続したレールの上で導体棒は等加速度運動をする

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 抵抗のない回路では、コンデンサーの電圧が導体棒の誘導起電力 $Blv$ に常に等しい。速さが増加するとコンデンサーの電荷も増加し、そのための電流が流れる。

電流は電荷の増加の割合なので、速さの増加の割合、すなわち加速度に比例する。導体棒が磁場から受ける力も加速度に比例するので、運動方程式は加速度について1次の式になる。

① コンデンサーの電荷。 電圧が $Blv$ なので、電荷は次のとおりである。

$$Q=CBlv$$

② 電流。 電流は電荷の増加の割合で、$v$ の増加の割合が $a$ なので、次のようになる。

$$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=CBl\frac{\Delta v}{\Delta t}=CBla$$

③ 運動方程式と加速度。 導体棒は磁場から、運動を妨げる向きに力 $IBl=C{B}^2{l}^{2}a$ を受ける。

$$ma=F-C{B}^2{l}^{2}a⟹a=\frac{F}{m+C{B}^2{l}^2}=\frac{2.0\times 10^{-2}}{1.0\times 10^{-2}+0.25\times 0.40^2\times 0.50^2}=1.0m/{\mathrm{s}}^2$$

加速度は時間によらず一定で、電流も $I=CBla=0.25\times 0.40\times 0.50\times 1.0=5.0\times 10^{-2}\mathrm{A}$ で一定である。

④ 時刻 $2.0\mathrm{s}$ の状態。

$$v=1.0\times 2.0=2.0m/s,V=Blv=0.40\times 0.50\times 2.0=0.40\mathrm{V},Q=CV=0.10\mathrm{C}$$

⑤ 仕事とエネルギー。 $2.0\mathrm{s}$ の間に進む距離は $\frac{1}{2}\times 1.0\times 2.0^2=2.0\mathrm{m}$ で、力 $F$ の仕事は $2.0\times 10^{-2}\times 2.0=4.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$ である。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 1.0\times 10^{-2}\times 2.0^2=2.0\times 10^{-2}\mathrm{J},\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\times 0.25\times 0.40^2=2.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$$

和は $4.0\times 10^{-2}\mathrm{J}$ で、仕事に等しい。抵抗がないのでジュール熱は発生せず、仕事は運動エネルギーと静電エネルギーに配分される。

まとめ 抵抗のない回路では、コンデンサーの電荷が速さに、電流が加速度に比例する。そのため導体棒は質量が $C{B}^2{l}^2$ だけ増加したように振る舞い、一定の力で等加速度運動をする。

発展。 この問題では $m$ と $C{B}^2{l}^2$ が等しいので、仕事は運動エネルギーと静電エネルギーに半分ずつ配分された。一般に、その比は $m:C{B}^2{l}^2$ である。抵抗を接続した場合には、導体棒は一定の速さに近づき、仕事は熱になる。

別解

別解:運動量と電荷の関係から速さを求める。 時刻 $t$ までに導体棒が磁場から受ける力の力積の大きさは、電流の時間の和、すなわちコンデンサーの電荷 $Q$ を用いて $BlQ$ である。運動量の変化と力積の関係から、次の式が成り立つ。

$$mv=Ft-BlQ=Ft-C{B}^2{l}^{2}v⟹v=\frac{F}{m+C{B}^2{l}^2}t$$

速さが時間に比例するので、等加速度運動であることが確認できる。$t=2.0\mathrm{s}$ を代入すると $v=2.0m/s$ で、④と一致する。