ベータトロンで電子を一定の半径で加速する条件

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 軌道を貫く磁束が増加すると、ファラデーの法則により、軌道に沿って誘導電場ができる。この電場が電子を軌道に沿って押し、運動量を増加させる。

一方、運動量が増加しても半径を保つには、軌道上の磁場も増加する必要がある。加速させる磁場(内部の平均)と、軌道を保つ磁場(軌道上)の増加の割合の関係を求めればよい。

① 1周の誘導起電力。 軌道を貫く磁束は $\pi r^2\bar{B}$ で、その変化の割合が1周の起電力である。

$$V=\pi r^2\frac{\Delta \bar{B}}{\Delta t}=\pi \times 0.50^2\times \frac{0.80}{5.0\times 10^{-3}}=40\pi \fallingdotseq 1.3\times 10^2\mathrm{V}$$

② 誘導電場の強さ。 1周の起電力は誘導電場の強さと軌道の長さの積に等しい。

$$E=\frac{V}{2\pi r}=\frac{40\pi }{2\pi \times 0.50}=40V/m$$

③ 運動量の増加の割合。 電子は軌道に沿う向きに力 $eE$ を受けるので、運動量の増加の割合はこれに等しい。

$$\frac{\Delta p}{\Delta t}=eE=e\times \frac{\pi r^2}{2\pi r}\frac{\Delta \bar{B}}{\Delta t}=\frac{er}{2}\frac{\Delta \bar{B}}{\Delta t}$$

④ 軌道を保つ条件。 $p=e{B}_{\text{軌道}}r$ を保つには、$\frac{\Delta p}{\Delta t}=er\frac{\Delta B_{\text{軌道}}}{\Delta t}$ でなければならない。③と比較すると、次のようになる。

$$\frac{\Delta B_{\text{軌道}}}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{\Delta \bar{B}}{\Delta t}⟹B_{\text{軌道}}=\frac{1}{2}\bar{B}$$

$5.0\times 10^{-3}\mathrm{s}$ 後は $B_{\text{軌道}}=0.40\mathrm{T}$ で、運動量は次のとおりである。

$$p=e{B}_{\text{軌道}}r=1.6\times 10^{-19}\times 0.40\times 0.50=3.2\times 10^{-20}\mathrm{kg}\cdot m/s$$

⑤ 周回数とエネルギー。 電子の速さがほぼ $c$ なので、周回数は次のようになる。

$$\frac{ct}{2\pi r}=\frac{3.0\times 10^8\times 5.0\times 10^{-3}}{2\pi \times 0.50}\fallingdotseq 4.8\times 10^5\text{回}$$

1周ごとに起電力 $40\pi \mathrm{V}$ で加速されるので、得るエネルギーは $40\pi \times 4.8\times 10^5\fallingdotseq 6.0\times 10^7\mathrm{eV}$ である。これは $pc=3.2\times 10^{-20}\times 3.0\times 10^8\mathrm{J}$ を電子ボルトに換算した値 $6.0\times 10^7\mathrm{eV}$ とも一致する。

まとめ 変化する磁束は軌道に沿う誘導電場をつくり、電子の運動量を増加させる。軌道上の磁場を内部の平均の半分に保てば、電子は一定の半径のままくり返し加速される。

発展。 1周あたりのエネルギーはわずか $100\mathrm{eV}$ 程度でも、数十万回の周回で数千万 eV に達する。ベータトロンは医療や材料の検査に用いる高エネルギーの電子線や X 線の発生に用いられてきた。

別解

別解:運動量を磁束で直接表す。 ③の式は、時間について和をとると $p=\frac{er}{2}\bar{B}$(はじめ $p=0$、$\bar{B}=0$)となる。これを $p=e{B}_{\text{軌道}}r$ と等しいとおくと、$B_{\text{軌道}}=\frac{\bar{B}}{2}$ が直接得られる。

運動量は軌道の内部の磁束 $\Phi =\pi r^2\bar{B}$ を用いて $p=\frac{e\Phi }{2\pi r}$ とも表せる。電子が得る運動量は、加速の途中の磁束の変化の仕方によらず、最後の磁束だけで定まる。