極板の間を往復する金属球が運ぶ電流

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 金属球は、正の極板で正の電荷を得て負の極板まで移動し、そこで負の電荷を得て正の極板まで移動する。この往復によって、正の電荷が正の極板から負の極板へくり返し運ばれる。

1回の移動にかかる時間は、一様な電場の中の等加速度運動から求まる。電流は1回の移動で電池を通過する電荷をその時間で割れば求まる。

① 力と加速度。 電場は $E=\frac{V}{d}=\frac{2.0\times 10^3}{0.040}=5.0\times 10^{4}V/m$ である。

$$F=qE=2.0\times 10^{-9}\times 5.0\times 10^4=1.0\times 10^{-4}\mathrm{N},a=\frac{F}{m}=0.50m/{\mathrm{s}}^2$$

② 移動の時間と速さ。 静止の状態から距離 $d$ を進むので、次のようになる。

$$d=\frac{1}{2}a{t}^2⟹t=\sqrt{\frac{2\times 0.040}{0.50}}=0.40\mathrm{s},v=at=0.20m/s$$

③ 運動エネルギー。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-4}\times 0.20^2=4.0\times 10^{-6}\mathrm{J},qV=2.0\times 10^{-9}\times 2.0\times 10^3=4.0\times 10^{-6}\mathrm{J}$$

電場がした仕事 $qEd=qV$ が、すべて運動エネルギーになっている。

④ 電池を通過する電荷と電流。 $+q$ の金属球が負の極板に衝突すると、金属球の電荷は $-q$ に変化する。金属球の電荷が $2q$ 減少した分だけ負の極板の電荷が $2q$ 増加するので、電池は負の極板から正の極板へ $2q$ の電荷を移動させて、極板の電荷をもとの値に保つ。

1回の移動ごとに $2q=4.0\times 10^{-9}\mathrm{C}$ が電池を通過するので、平均の電流は次のとおりである。

$$I=\frac{2q}{t}=\frac{4.0\times 10^{-9}}{0.40}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{A}$$

⑤ 電圧を2倍にしたとき。 電荷 $q$ と電場 $E$ がともに2倍になるので、力と加速度は4倍になる。時間は $\frac{1}{\sqrt{a}}$ に比例して $\frac{1}{2}$ 倍になり、1回に運ぶ電荷は2倍なので、電流は $2\times 2=4$ 倍になる。

電流は電圧の2乗に比例し、オームの法則にしたがわない。

まとめ 電場の中の金属球は一様な電場から一定の力を受けて往復し、1回ごとに $2q$ の電荷を運ぶ。電流は運ぶ電荷と移動の時間で定まり、電荷が電圧に比例するときは電圧の2乗に比例する。

発展。 この装置の原理は、静電気で鳴る「静電気のベル」と同じである。電荷を帯びた物体が移動して電流が流れるしくみは、電解液の中のイオンが電荷を運ぶ電流とも共通している。

別解

別解:電池がする仕事から電流を求める。 1回の移動で電池が $2q$ の電荷を移動させると、電池の仕事は $2qV=8.0\times 10^{-6}\mathrm{J}$ である。1回の移動は $0.40\mathrm{s}$ なので、電池が供給する平均の電力は $2.0\times 10^{-5}\mathrm{W}$ である。

電力は $IV$ に等しいので、$I=\frac{2.0\times 10^{-5}}{2.0\times 10^3}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{A}$ となり、④と一致する。電池の仕事のうち金属球の運動エネルギーになるのは $qV$ で、半分である。もう半分は、接触して電荷が変化するときの電流によって熱になる。