電池の向きを逆にして再接続したコンデンサーで発生する熱

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 抵抗を流れる電流は時間とともに変化するので、ジュール熱を電流から直接計算するのは難しい。そこで、はじめと最後の状態だけを比較し、エネルギーの保存から熱を求める。

電池がした仕事は、電池を通過した電荷と起電力の積で、途中の電流の変化によらない。この仕事から静電エネルギーの増加を差し引いた分が、ジュール熱である。

① はじめの状態。

$$Q_0=CE=2.0\times 10^{-6}\times 10=2.0\times 10^{-5}\mathrm{C},U_0=\frac{1}{2}C{E}^2=1.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$$

② 最後の状態。 電池の向きが逆なので、極板 P は電池の負極の側に接続されている。十分に時間がたつと、コンデンサーの電圧は電池の起電力に等しくなり、P の電荷は $-CE=-2.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ になる。静電エネルギーは、はじめと同じ $1.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$ である。

③ 電池を通過した電荷と電池の仕事。 P の電荷は $+2.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ から $-2.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ に変化したので、$4.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ の正の電荷が P から導線を通り、電池の中を負極から正極へ移動した。電池はこの電荷を起電力の向きに移動させたので、正の仕事をした。

$$W=E\times 2CE=10\times 4.0\times 10^{-5}=4.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$$

④ ジュール熱。 静電エネルギーは変化しないので、電池の仕事はすべてジュール熱になる。

$$H=W-\Delta U=4.0\times 10^{-4}-0=4.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$$

電池の仕事と静電エネルギーは抵抗の値によらないので、熱も抵抗の値によらない。抵抗が大きいと電流は小さいが、そのぶん長い時間流れる。

⑤ 30 V の電池に接続したとき。 P の電荷は $2.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ から $C\times 30=6.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ に増加するので、電池を通過する電荷は $4.0\times 10^{-5}\mathrm{C}$ で、電池の仕事は $30\times 4.0\times 10^{-5}=1.2\times 10^{-3}\mathrm{J}$ である。

静電エネルギーは $\frac{1}{2}C(30^2-10^2)=8.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$ 増加するので、熱は $1.2\times 10^{-3}-8.0\times 10^{-4}=4.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$ である。向きを逆にした場合と同じ熱になる。

まとめ 熱は電流の変化を追わなくても、電池の仕事と静電エネルギーの増加の差から求められる。どちらの場合もコンデンサーの電圧が $20\mathrm{V}$ 変化し、熱は等しい。

発展。 一般に、起電力が一定の電池でコンデンサーの電圧を $\Delta V$ だけ変化させると、ジュール熱は $\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2$ になる(別解)。電圧の変化が大きいほど多くの熱が発生するので、電池の電圧を少しずつ高くして充電すると、発生する熱を小さくできる。

別解

別解:電圧の変化だけから熱を求める。 電池の起電力を $E^{\prime }$、コンデンサーのはじめの電圧を $V_0$ とする(P の側を正として符号をつける)。最後の電圧は $E^{\prime }$ なので、電池を通過する電荷は $C(E^{\prime }-V_0)$ で、電池の仕事は $C{E}^{\prime }(E^{\prime }-V_0)$ である。静電エネルギーの増加 $\frac{1}{2}C(E^{\prime 2}-V_0^2)$ を引くと、熱は次のようになる。

$$C{E}^{\prime }(E^{\prime }-V_0)-\frac{1}{2}C(E^{\prime 2}-V_0^2)=\frac{1}{2}C(E^{\prime }-V_0{)}^2$$

向きを逆にした場合は $E^{\prime }=-10\mathrm{V}$、$V_0=10\mathrm{V}$ で、30 V の場合は $E^{\prime }=30\mathrm{V}$、$V_0=10\mathrm{V}$ である。どちらも $|E^{\prime }-V_0|=20\mathrm{V}$ なので、熱は $\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-6}\times 20^2=4.0\times 10^{-4}\mathrm{J}$ となる。