誘電体をコンデンサーに引き込む力

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 誘電体を一部だけ挿入したコンデンサーでは、誘電体のある部分とない部分の極板の電位差が等しい。そのため、2つのコンデンサーの並列とみなせる。

誘電体が受ける力は極板の端の電場によるので、直接計算するのは難しい。そこで、誘電体をわずかに移動させたときのエネルギーの収支から力を求める。

① 電気容量。 誘電体のある部分の容量は $3C_0\frac{x}{a}$、ない部分の容量は $C_0\frac{a-x}{a}$ で、並列の合成容量は次のとおりである。

$$C(x)=C_0\left(1+\frac{2x}{a}\right),C(0.10)=2.0\times 10^{-10}\times 2=4.0\times 10^{-10}\mathrm{F}$$

② 電池に接続したまま押し込むとき。 $\Delta x$ だけ押し込むと、容量は $\Delta C=\frac{2C_0}{a}\Delta x=2.0\times 10^{-9}\Delta x$ だけ増加する。電圧 $V$ が一定なので、電池を通過する電荷は $V\Delta C$ で、電池がする仕事と静電エネルギーの増加は次のとおりである。

$$W_{\text{電池}}=V^2\Delta C=2.0\times 10^{-3}\Delta x,\Delta U=\frac{1}{2}{V}^2\Delta C=1.0\times 10^{-3}\Delta x$$

③ 誘電体が受ける力。 電池の仕事のうち、静電エネルギーの増加を差し引いた $\frac{1}{2}{V}^2\Delta C$ は、電場が誘電体にした仕事である。これが $F\Delta x$ に等しいので、次のようになる。

$$F=\frac{1}{2}{V}^2\frac{\Delta C}{\Delta x}=\frac{1}{2}\times (1.0\times 10^3{)}^2\times 2.0\times 10^{-9}=1.0\times 10^{-3}\mathrm{N}$$

電場の仕事が正なので、力は誘電体を引き込む向きである。$\frac{\Delta C}{\Delta x}$ は $x$ によらない一定値なので、電池に接続している間、力も $x$ によらない。

④ 電池を切りはなしたとき。 電荷は $Q=C(0.10)V=4.0\times 10^{-7}\mathrm{C}$ で一定である。電荷が一定のときは、静電エネルギー $\frac{Q^2}{2C}$ の減少が電場の仕事になり、計算するとそのときの電圧を用いた③と同じ式になる(別解)。すべて挿入すると $C=3C_0=6.0\times 10^{-10}\mathrm{F}$ で、電圧と力は次のようになる。

$$V^{\prime }=\frac{4.0\times 10^{-7}}{6.0\times 10^{-10}}\fallingdotseq 6.7\times 10^2\mathrm{V},F^{\prime }=\frac{1}{2}{V}^{\prime 2}\frac{\Delta C}{\Delta x}\fallingdotseq 4.4\times 10^{-4}\mathrm{N}$$

電荷が一定のときは、誘電体を挿入するほど電圧が低下し、力も小さくなる。

⑤ 電場がする仕事。 電荷が一定のとき、電場がする仕事は静電エネルギーの減少に等しい。

$$\frac{Q^2}{2C(0.10)}-\frac{Q^2}{2C(0.20)}=\frac{(4.0\times 10^{-7}{)}^2}{2}\left(\frac{1}{4.0\times 10^{-10}}-\frac{1}{6.0\times 10^{-10}}\right)\fallingdotseq 6.7\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

まとめ 誘電体を引き込む力は、エネルギーの収支から求められる。電池に接続していれば電池の仕事の半分が力学的な仕事になり、力は一定である。電池を切りはなしていれば静電エネルギーの減少が力学的な仕事になり、力は電圧の2乗に比例して小さくなる。

発展。 誘電体が引き込まれるのは、極板の端の電場によって誘電体の表面に電荷が現れ、その電荷が極板の電荷に引かれるためである。極板の間に液体の誘電体が吸い上げられる実験でも、同じ力が観察される。

別解

別解:電荷が一定の場合も、エネルギーの変化から力を求める。 電荷 $Q$ が一定のとき、静電エネルギーは $U=\frac{Q^2}{2C}$ である。$\Delta x$ だけ押し込むと容量が $\Delta C$ 増加し、エネルギーは次の量だけ減少する。

$$\frac{Q^2}{2C}-\frac{Q^2}{2(C+\Delta C)}\fallingdotseq \frac{Q^2}{2C^2}\Delta C=\frac{1}{2}{\left(\frac{Q}{C}\right)}^2\Delta C$$

この減少が $F\Delta x$ に等しいので、$F=\frac{1}{2}{V}^2\frac{\Delta C}{\Delta x}$($V$ はそのときの電圧)となり、③と同じ形になる。電池に接続しているかどうかにかかわらず、同じ位置・同じ電圧なら力は等しい。電池を切りはなした直後の力も $1.0\times 10^{-3}\mathrm{N}$ である。