物理 / 電場と電位

正負の電荷の対から遠く離れた点の電位と電場

★★★★ 難関電気双極子電位の重ね合わせ近似

問題

$x$ 軸上の $x = + \frac{d}{2}$ に点電荷 $+ q$ 、 $x = - \frac{d}{2}$ に点電荷 $- q$ を固定する。 $q = 1.0 \times 1 0^{- 9} C$ 、 $d = 2.0 mm$ で、クーロンの法則の比例定数を $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ とする。 $x$ 軸上の点 P $(r, 0)$ と、 $y$ 軸上の点 R $(0, r)$ を考え、 $r = 0.10 m$ とする。 $r$ は $d$ より十分大きいので、必要なら $\frac{d}{r}$ の2乗以上の項を無視してよい。

x 軸上の正負の点電荷と、点 P、R(d は誇張して描いている)

(1) R での電位を求めよ。

(2) P での電位を求めよ。

(3) P と R での電場の強さを、それぞれ求めよ。また、それぞれの電場の向きを述べよ。

(4) $r$ を2倍にすると、P での電位と電場の強さは、それぞれ何倍になるか。

(5) この電荷の対を、強さ $1.0 \times 1 0^{3} V/m$ の一様な電場の中に配置する。 $- q$ から $+ q$ へ向かう向きが電場と同じ向きの状態から、電場と反対の向きの状態まで、電荷の対を回転させるのに必要な仕事を求めよ。

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2つの電荷からの距離はわずかに異なる。その差を無視せずに近似すると、電位は $r$ の何乗に比例するか。R では、2つの電場のどの成分が打ち消し合うか。

解答・解説

方針

電位は2つの点電荷の電位の和で、遠く離れた点では $\frac{1}{r \pm d /2}$ の差がわずかな値になる。差を近似すると、電位は $\frac{k q d}{r ^{2}}$ 程度、電場は $\frac{k q d}{r ^{3}}$ 程度になり、1つの点電荷より速く減少する。 $q d$ の積が遠くでの電位と電場の大きさを定める。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 正負の電荷が近くにあると、遠く離れた点ではそれぞれの電位がほぼ打ち消し合う。打ち消されないのは、2つの電荷までの距離のわずかな違いによる部分である。

この部分は距離の差 $d$ に比例し、 $r$ が大きいほど速く小さくなる。近似の式を立てる前に、2つの電荷までの距離がそれぞれいくらかを確認すればよい。

① R での電位。 R は2つの電荷から等距離にあるので、 $+ q$ と $- q$ の電位は大きさが等しく符号が反対である。電位は $0$ である。

② P での電位。 P から $+ q$ までは $r - \frac{d}{2}$ 、 $- q$ までは $r + \frac{d}{2}$ である。

$V_{P} = k q (\frac{1}{r - \frac{d}{2}} - \frac{1}{r + \frac{d}{2}}) = \frac{k q d}{r ^{2} - \frac{d ^{2}}{4}} ≒ \frac{k q d}{r ^{2}}$

$\frac{k q d}{r ^{2}} = \frac{9.0 \times 1 0 ^{9} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 9} \times 2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{( 0.10 ) ^{2}} = 1.8 V$

③ 電場。 P では2つの電場はどちらも $x$ 軸に沿い、 $+ q$ による $+ x$ の向きの電場のほうが強い。

$E_{P} = k q {\frac{1}{( r - \frac{d}{2} ) ^{2}} - \frac{1}{( r + \frac{d}{2} ) ^{2}}} ≒ \frac{2 k q d}{r ^{3}} = 36 V/m$

R では、2つの電場の大きさは等しく $\frac{k q}{r ^{2} + \frac{d ^{2}}{4}}$ で、 $y$ 成分は打ち消し合い、 $x$ 成分は $- x$ の向きに加算される。 $x$ 成分は大きさの $\frac{d /2}{r ^{2} + d ^{2} /4}$ 倍である。

$E_{R} = 2 \times \frac{k q}{r ^{2} + \frac{d ^{2}}{4}} \times \frac{\frac{d}{2}}{r ^{2} + \frac{d ^{2}}{4}} ≒ \frac{k q d}{r ^{3}} = 18 V/m$

R での電場(d は誇張して描いている)。2つの電場の y 成分は打ち消し合い、合成した電場は −x の向きになる

R の電位は $0$ でも、電場は $0$ ではない。電場は電位の傾きで定まり、 $y$ 軸上で電位が一定でも、 $x$ の向きには電位が変化しているからである。

④ $r$ を2倍にしたとき。 電位は $\frac{1}{r ^{2}}$ に比例するので $\frac{1}{4}$ 倍、電場は $\frac{1}{r ^{3}}$ に比例するので $\frac{1}{8}$ 倍になる。1つの点電荷の電位 $\frac{1}{r}$ 、電場 $\frac{1}{r ^{2}}$ より速く減少する。

重要正負の電荷の対から遠い点では、電位は

\frac{k q d}{r ^{2}}

、電場は

\frac{k q d}{r ^{3}}

程度で、1つの点電荷より

r

の1乗だけ速く減少する

⑤ 一様な電場の中で回転させる仕事。 一様な電場 $E_{0}$ の中で、 $+ q$ と $- q$ が受ける力は大きさが等しく向きが反対なので、合力は $0$ である。回転させると、 $+ q$ は電場と反対の向きに、 $- q$ は電場の向きに、それぞれ $d$ だけ位置が変化する。どちらも電場から受ける力に逆らう移動なので、必要な仕事は次のとおりである。

$W = 2 q E_{0} d = 2 \times 1.0 \times 1 0^{- 9} \times 1.0 \times 1 0^{3} \times 2.0 \times 1 0^{- 3} = 4.0 \times 1 0^{- 9} J$

まとめ 正負の電荷の対は、遠くでは $q d$ の積だけで電位と電場が定まり、1つの点電荷より速く減少する。電位が $0$ の点でも、電場は $0$ とは限らない。

発展。 $q d$ を電気双極子モーメントといい、水の分子のように正負の電荷の中心がずれた分子の性質を表す量である。電子レンジで水が加熱されるのは、向きが変化する電場によって、水の分子の向きが絶えず変化するためである。

答

(1) $0$ (2) 約 $1.8 V$ (3) P は約 $36 V/m$ で $+ x$ の向き、R は約 $18 V/m$ で $- x$ の向き (4) 電位は $\frac{1}{4}$ 倍、電場は $\frac{1}{8}$ 倍 (5) $4.0 \times 1 0^{- 9} J$

別解

別解:近似の式を2項展開で導く。 $\frac{d}{r}$ が小さいとき、 $\frac{1}{r \mp \frac{d}{2}} = \frac{1}{r} (1 \mp \frac{d}{2 r})^{- 1} ≒ \frac{1}{r} (1 \pm \frac{d}{2 r})$ と近似できる。

$V_{P} ≒ \frac{k q}{r} {(1 + \frac{d}{2 r}) - (1 - \frac{d}{2 r})} = \frac{k q d}{r ^{2}}$

電場も同じように、 $\frac{1}{( r \mp \frac{d}{2} ) ^{2}} ≒ \frac{1}{r ^{2}} (1 \pm \frac{d}{r})$ から $E_{P} ≒ \frac{k q}{r ^{2}} \times \frac{2 d}{r} = \frac{2 k q d}{r ^{3}}$ となる。 $V_{P}$ を $r$ で微分して符号を反対にしても、同じ結果が得られる。

ポイント

遠い点では正負の電荷の電位がほぼ打ち消し合い、距離の差による部分だけが電位になる
軸上で電位 $\frac{k q d}{r ^{2}}$ 、電場 $\frac{2 k q d}{r ^{3}}$ 。垂直な方向では電場 $\frac{k q d}{r ^{3}}$
電位が $0$ の点でも、電場は $0$ とは限らない

よくある間違い

R の電位が $0$ なので、R の電場も $0$ とする。電場は電位の傾きで定まり、R では $x$ の向きに電位が変化している
遠い点では、電場が1つの点電荷と同じく $\frac{1}{r ^{2}}$ に比例すると考える。正負の電荷の電場が打ち消し合い、 $\frac{1}{r ^{3}}$ に比例する
近似の式で距離の差を省略して、 $\frac{k q}{r} - \frac{k q}{r} = 0$ とする。差がわずかでも、電位はその差だけで定まる