物理 / 電場と電位

接地した2枚の極板の間に配置した帯電した極板

★★★★ 難関平行板コンデンサー静電誘導極板にはたらく力

問題

同じ面積の3枚の金属板 A、B、C を、この順に平行に配置する。A と B の間隔は $1.0 mm$ 、B と C の間隔は $3.0 mm$ である。A と C は導線で接続して接地し、B には電荷 $Q = + 4.0 \times 1 0^{- 8} C$ を与えた。A と B だけでつくるコンデンサーの電気容量は $C_{1} = 3.0 \times 1 0^{- 10} F$ 、B と C だけでつくるコンデンサーの電気容量は $C_{2} = 1.0 \times 1 0^{- 10} F$ である。極板の端の効果は無視する。

平行に配置した3枚の金属板。A と C は導線で接続して接地し、B に電荷 Q を与える

(1) B の電位を求めよ。

(2) B の A 側の面と C 側の面に現れる電荷を、それぞれ求めよ。

(3) A と B の間、B と C の間の電場の強さを、それぞれ求めよ。

(4) B が電場から受ける力の大きさと向きを求めよ。

(5) B を A と C のちょうど中央に移動すると、B が受ける力は $0$ になる。この位置から B をわずかに A 側へ移動すると、B が受ける力はどちら向きになるか。

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A と C の電位が等しいとき、B を基準とした2つの間隔の電位差はどうなるか。B の2つの面の電荷はどんな比で分配されるか。

解答・解説

方針

A と C は同じ電位 $0$ なので、B と A、B と C の間の電位差は等しい。B を共通の極板とする2つのコンデンサーが並列に接続されているとみなせ、電荷 $Q$ は電気容量に比例して2つの面に分配される。極板の面の電荷が受ける力は、面の電荷とその面の側の電場の積の半分である。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) A と C は導線で接続して接地しているので、どちらも電位は $0$ である。B と A の間の電位差と、B と C の間の電位差は等しく、どちらも B の電位 $V$ に等しい。

これは、B を共通の極板とする2つのコンデンサー $C_{1}$ 、 $C_{2}$ が並列に接続された状態である。電荷 $Q$ は電気容量に比例して B の2つの面に分配され、近いほうの面に多く分布する。

① B の電位。 並列の合成容量は $C_{1} + C_{2} = 4.0 \times 1 0^{- 10} F$ なので、次のようになる。

$V = \frac{Q}{C _{1} + C _{2}} = \frac{4.0 \times 1 0 ^{- 8}}{4.0 \times 1 0 ^{- 10}} = 100 V$

② B の両面の電荷。

$Q_{1} = C_{1} V = 3.0 \times 1 0^{- 8} C, Q_{2} = C_{2} V = 1.0 \times 1 0^{- 8} C$

A の B 側の面には $- 3.0 \times 1 0^{- 8} C$ 、C の B 側の面には $- 1.0 \times 1 0^{- 8} C$ が静電誘導で現れる。

③ 電場の強さ。 どちらの間隔も電位差は $100 V$ なので、電場は間隔に反比例する。

$E_{1} = \frac{100}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.0 \times 1 0^{5} V/m, E_{2} = \frac{100}{3.0 \times 1 0 ^{- 3}} ≒ 3.3 \times 1 0^{4} V/m$

電荷の分布と電場(電荷の単位は 10⁻⁸ C)。電気力線の本数は電荷に比例し、間隔の狭い A 側に C 側の3倍の電気力線が向かう

④ B にはたらく力。 極板の面の電荷 $Q_{1}$ が受ける力は、その面の側の電場 $E_{1}$ との積の半分 $\frac{Q _{1} E _{1}}{2}$ である(面の電荷自身がつくる電場の分を除外するため)。A 側の面は A の向きに、C 側の面は C の向きに引かれる。

$F = \frac{Q _{1} E _{1}}{2} - \frac{Q _{2} E _{2}}{2} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{- 3} - 3.3 \times 1 0 ^{- 4}}{2} ≒ 1.3 \times 1 0^{- 3} N$

B は A の向き、すなわち近いほうの極板の向きに引かれる。

重要極板の面の電荷

Q

が受ける力は

\frac{QE}{2}

(

E

はその面の側の電場)。両面に電荷があるときは、2つの面の力の差が合力になる

⑤ 中央の位置の安定性。 中央では2つの間隔が等しく、両面の電荷も電場も等しいので、力は $0$ である。B を A 側にわずかに移動すると、A 側の容量が大きくなり、A 側の面の電荷と電場がともに大きくなる。

力は面の電荷と電場の積で定まるので、A 側の面の力が大きくなり、B は A の向きにさらに引かれる。中央の位置は不安定で、B はずれた向きの極板へ引き寄せられる。

まとめ 接地した2枚の極板の間の帯電した極板は、2つのコンデンサーの共通の極板とみなせる。電荷は近い面に多く分布し、近い側の電場も強いので、B は近いほうの極板に引かれる。

発展。 静電気の力で物体が引き寄せられる現象の多くは、この例のように「近いほど引く力が強くなる」性質をもち、つり合いの位置は不安定になる。静止した電荷がつくる電場の中で、点電荷を安定に静止させられないことは、アーンショーの定理として知られている。

答

(1) $100 V$ (2) A 側 $3.0 \times 1 0^{- 8} C$ 、C 側 $1.0 \times 1 0^{- 8} C$ (3) $1.0 \times 1 0^{5} V/m$ 、約 $3.3 \times 1 0^{4} V/m$ (4) 約 $1.3 \times 1 0^{- 3} N$ 、A の向き (5) A の向き(近いほうの極板の向き)。中央の位置は不安定である

別解

別解:静電エネルギーの変化から力を求める。 B の電荷 $Q$ は一定なので、静電エネルギーは $U = \frac{Q ^{2}}{2 ( C _{1} + C _{2} )}$ である。B を A の向きに微小な距離 $Δ x$ だけ移動すると、容量は間隔に反比例するので、 $C_{1}$ は $\frac{C _{1}}{d _{1}} Δ x$ 増加し、 $C_{2}$ は $\frac{C _{2}}{d _{2}} Δ x$ 減少する( $d_{1} = 1.0 mm$ 、 $d_{2} = 3.0 mm$ )。

合成容量の増加は $(\frac{C _{1}}{d _{1}} - \frac{C _{2}}{d _{2}}) Δ x = (3.0 \times 1 0^{- 7} - 3.3 \times 1 0^{- 8}) Δ x$ で、 $U$ は減少する。電荷が一定のとき、力はエネルギーの減少の割合に等しい。

$F = \frac{V ^{2}}{2} (\frac{C _{1}}{d _{1}} - \frac{C _{2}}{d _{2}}) = \frac{10 0 ^{2}}{2} \times 2.67 \times 1 0^{- 7} ≒ 1.3 \times 1 0^{- 3} N$

エネルギーが減少する向き、すなわち A の向きに力がはたらき、④と一致する。

ポイント

A と C が同じ電位なら、B は2つのコンデンサーの共通の極板(並列)とみなせる
電荷は電気容量に比例して分配され、近い面に多く分布する
面の電荷が受ける力は $\frac{QE}{2}$ 。B は近いほうの極板に引かれ、中央は不安定

よくある間違い

電荷 $Q$ が B の両面に半分ずつ分配されると考える。2つの間隔の電位差が等しいので、電荷は電気容量に比例する
面の電荷が受ける力を $QE$ とする。面の電荷自身がつくる電場を除外すると、その面の位置の電場は $\frac{E}{2}$ である
間隔の狭い側の電場が弱いと考える。電位差が等しいので、間隔が狭いほど電場は強い